思路

仿射變換一個基本的性質——保持面積之比不變。利用這個性質，我們可以先在直角三角形中探討這個問題，最後利用仿射變換將其推廣到一般三角形中。

直角三角形的情況

如圖建系， ，

則

則兩三角形面積之比為

即

其中 ，而 與題目中的 關係為：

它們是很容易轉換的。現在讓 變動起來，顯然 與 滿足反比例關係。

與 的運動合成點 的運動，由反比例函式的知識，點 在一個雙曲線 的一支上運動。不過這離我們所求的仍有一段距離：我們想知道的是由 運動所包絡而成的曲線 。注意到 ， 是雙曲線上過點 的切線。所以 是 平移的結果：

平移常數 、 可以透過初始位置而待定；至於，這個透過簡單的斜率計算可得：

一般三角形的情況

按照我們的計劃，我們最後只要觀察 在仿射變換 下的像 是一個什麼樣的曲線就可以了。

定義仿射變換 ：

即

帶入到 中，

整理得

不考慮平移所帶來的項，則函式實為如下形式

此為對勾函式曲線，即雙曲線。

結論

所以最後在三角形內形成的曲線應該是由三條雙曲線拼合而成。效果圖我之後補充。