這是個好問題，不侷限於二重積分和極座標，對任意多重積分和任意換元都是統一的，雅克比行列式並不是被定義出來的，而恰恰是根據幾何意義直接推匯出來的必然結果。

n重積分就是在n維幾何空間裡求n維（超）體積，注意這裡的“幾何空間”不一定是直觀的，其座標系就是你選用的變數組，可以是x，y，也可以是極座標，也可以是任何獨立變數組，想咋玩兒咋玩兒。

積分其實就是微元的累加，一維的情況微元就是一條無限短的線段dx，二維就是一個無限小的方塊dxdy，三維就是無限小的方體dxdydz，… 所以多重積分下換元的核心問題就是解決不同空間座標系下這些微元（n維微小超體積）之間的度量和轉換。

一般來說，任意選取的座標系（變數組）不一定是線性的，但如果函式對各個變數都是可微的，那麼我們看待微元時，就會發現它們無限接近線性空間。

線性幾何空間的數學工具當然就是線性代數，顯然，在任何一個可微的空間點的極小鄰域上，不同座標系構成的微元方體之間滿足線性變換關係，其變換矩陣就是兩組變數之間的偏導數關係，這些都是非常清晰的幾何意義。

所以，這個變換矩陣當然就是大名鼎鼎的雅可比矩陣，其行列式自然就是雅克比行列式。

矩陣行列式的幾何意義就是n維空間上的（有向）超體積，這就是為什麼不同座標系下的積分微元之間的度量轉換必須使用雅克比行列式的原因。

回到原題，我們不要僅僅盯著二重積分，極座標這些特定形式，而可以把問題直接推向n重積分，任意座標系，直接高屋建瓴的理解其幾何本質。