從靜態到動態，從有限到無限，正是初等數學與高等數學思維和研究內容的區別。用哲學的觀點來說，初等數學相當於形式邏輯範疇，而高等數學則相當於辯證邏輯的範疇。形式邏輯與辯證邏輯思維觀之間，存在著一條巨大的鴻溝，想要跨越過去，就必須拋棄已有的習慣思維和狹隘的直覺，數學學習也是如此。
微積分正是反應高等數學思維和研究物件的一個很好的例子，它展示了量變到質變，無窮無限世界裡的奇異景象。
上面的話看似普通（有點抽象），可能很多人會覺得像是在說一些廢話。但其實並不是這樣，因為用初等數學的思維習慣和學習方式不太適合學習高等數學知識。沒理解上面表達的意思，是很難理解微分積分等概念的本質。
要了解微分到底是什麼意思，先看從初等數學觀點來看問題。
對於一元函式 ，考慮自變數的一個有限的增量 ，即從 增加到 後，函式從 增加到
函式的增加量怎麼算呢？如果瞭解泰勒級數，可以從泰勒展開逐步逼近，但我們暫時只有初等數學知識，只能從一種非常直觀的幾何角度來看：
將一元函式視為一條函式曲線，不難發現（這裡不配圖，自己大腦想象），增加的高度 、增加的長度 、兩端點對應於曲線上的點的連線（截線或割線）構成一個三角形。根據三角函式關係可知，必然有
這個 就是割線的斜率，它的大小與 取值有關。
如果將 不斷減小，曲線上兩截點就會越來越靠近，以至於最終合為一點。此時對應的割線稱之為“切線”，對應的斜率稱為曲線在重合點 處的斜率
上面表達的是當 趨近於零時， 可用一個函式 與 的乘積再加上一個總是比 小的量（高階無窮小量）來逼近，因此可以為商的形式
通常用 符號 表示切線斜率 ，而將上面這個 的極限操作過程稱之為微分操作，用符號d表示（取自微分的英文單詞differentiate首字母）；後面的變量表示對這個變數進行微分操作，故上面的極限式可寫為微分形式
即函式的微分等於其切線斜率乘以自變數的微分。
注意，d只是一個符號，它不是函式。從現代數學觀點來看，它是一個運算元，表示對某個數學物件（可以是函式、運算元、常數、變數等）進行微分操作，運算元後所跟的表示式為所作用的物件。運算元作用得到的結果不是一個具體的變數（函式）或常量，而是一個無窮小量。
為了區別變數（斜體字母）和運算元，通常使用正體符號 表示它是一個微分運算元，而不是變數（否則可以約去）。因此，要將 視為一個整體結果（即微分運算元作用於 後的結果）。比如， 為微分運算元的二重作用，為方便起見，可簡記為 ，而 簡記為 ——注意它與的區別。
那麼二階微分怎麼來的？一階微分是通過幾何意義來定義的，所以二階微分仍應從這個角度出發：
也就是說，將導函式（斜率函式）看成一個新的曲線，其斜率與自變數微分的乘積就等於導函式的微分。
為書寫方便起見，下面用y代替y(x)，那麼有
接下來就要使用微分運演算法則了：
透過簡單的代數運算，就有
這個結果說明：一個函式的二階微分可以表達成兩部分的和，其中一部分是二次斜率（二階導數）與自變數微分的平方之積，另一部分則是斜率與自變數二次微分之乘積。
將(3)式兩邊同時除以 ，由於 是 的高階無窮小，因此一階導數項為零，即
類似地，更高階微分可類似推導。
注意：這個方法在計算反函式高階導函式公式時，同樣適用。
————————————————————————————
補充：現在說有限增量和微分的關係：從幾何上來看，增量 可視為許許多個更加細小的函式增量求和而成，而這些細小的函式增量來自於將 無限細分（微分操作）後相應各自的函式增量（函式的微分）。利用上面切線斜率的定義，將這些細小函式增量累計求和（稱之為積分操作）：
上面的Sum表示求和，萊布尼茲為了方便，用第一個字母S拉長表示積分符號（沿用至今）。這個符號就是對無窮小的微分進行求和而已。
等式最左邊表示求和起止點對應函式值之差，而最右邊表示導函式（切線斜率）在這個範圍內的積分操作——這就是著名的牛頓-萊布尼茲公式，揭示了微分和積分互為逆運算。
現在應該明白了為何求積分時後面為何要加一個 之類的東西了吧？這不是數學書寫習慣，也不是故意要這麼寫，而是有其數學意義的。
積分的本質就是對無窮個無窮小量進行求和所得，因此從這個意義上來講，dy，dx本身不是一個有限常量，也不是一個變數，而是一個動態變化的無窮小量，而微分關係則反映了這些不同微分量之間的關係。
———————————————————————————
這一項是非常重要的一項，它屬於微分結果的組成部分，無論它多麼小也不可忽略（理解一下質變到量變，不僅是在積分上，在導數定義上也是如此）。因此，要注意微分和導函式（微商）不是同一個東西。
比如複合函式 ，利用公式(3)求二階微分有
我們用它可以很方便求對 的二階導數：將 以及 代入後得
將上式兩邊同時除以 ，並考慮到 ，有
這個結果與直接對函式 兩次求導的結果是一樣的。
從靜態到動態，從有限到無限，正是初等數學與高等數學思維和研究內容的區別。用哲學的觀點來說，初等數學相當於形式邏輯範疇，而高等數學則相當於辯證邏輯的範疇。形式邏輯與辯證邏輯思維觀之間，存在著一條巨大的鴻溝，想要跨越過去，就必須拋棄已有的習慣思維和狹隘的直覺，數學學習也是如此。
微積分正是反應高等數學思維和研究物件的一個很好的例子，它展示了量變到質變，無窮無限世界裡的奇異景象。
上面的話看似普通（有點抽象），可能很多人會覺得像是在說一些廢話。但其實並不是這樣，因為用初等數學的思維習慣和學習方式不太適合學習高等數學知識。沒理解上面表達的意思，是很難理解微分積分等概念的本質。
要了解微分到底是什麼意思，先看從初等數學觀點來看問題。
對於一元函式 ，考慮自變數的一個有限的增量 ，即從 增加到 後，函式從 增加到
函式的增加量怎麼算呢？如果瞭解泰勒級數，可以從泰勒展開逐步逼近，但我們暫時只有初等數學知識，只能從一種非常直觀的幾何角度來看：
將一元函式視為一條函式曲線，不難發現（這裡不配圖，自己大腦想象），增加的高度 、增加的長度 、兩端點對應於曲線上的點的連線（截線或割線）構成一個三角形。根據三角函式關係可知，必然有
這個 就是割線的斜率，它的大小與 取值有關。
如果將 不斷減小，曲線上兩截點就會越來越靠近，以至於最終合為一點。此時對應的割線稱之為“切線”，對應的斜率稱為曲線在重合點 處的斜率
上面表達的是當 趨近於零時， 可用一個函式 與 的乘積再加上一個總是比 小的量（高階無窮小量）來逼近，因此可以為商的形式
通常用 符號 表示切線斜率 ，而將上面這個 的極限操作過程稱之為微分操作，用符號d表示（取自微分的英文單詞differentiate首字母）；後面的變量表示對這個變數進行微分操作，故上面的極限式可寫為微分形式
即函式的微分等於其切線斜率乘以自變數的微分。
注意，d只是一個符號，它不是函式。從現代數學觀點來看，它是一個運算元，表示對某個數學物件（可以是函式、運算元、常數、變數等）進行微分操作，運算元後所跟的表示式為所作用的物件。運算元作用得到的結果不是一個具體的變數（函式）或常量，而是一個無窮小量。
為了區別變數（斜體字母）和運算元，通常使用正體符號 表示它是一個微分運算元，而不是變數（否則可以約去）。因此，要將 視為一個整體結果（即微分運算元作用於 後的結果）。比如， 為微分運算元的二重作用，為方便起見，可簡記為 ，而 簡記為 ——注意它與的區別。
那麼二階微分怎麼來的？一階微分是通過幾何意義來定義的，所以二階微分仍應從這個角度出發：
也就是說，將導函式（斜率函式）看成一個新的曲線，其斜率與自變數微分的乘積就等於導函式的微分。
為書寫方便起見，下面用y代替y(x)，那麼有
接下來就要使用微分運演算法則了：
透過簡單的代數運算，就有
這個結果說明：一個函式的二階微分可以表達成兩部分的和，其中一部分是二次斜率（二階導數）與自變數微分的平方之積，另一部分則是斜率與自變數二次微分之乘積。
將(3)式兩邊同時除以 ，由於 是 的高階無窮小，因此一階導數項為零，即
類似地，更高階微分可類似推導。
注意：這個方法在計算反函式高階導函式公式時，同樣適用。
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補充：現在說有限增量和微分的關係：從幾何上來看，增量 可視為許許多個更加細小的函式增量求和而成，而這些細小的函式增量來自於將 無限細分（微分操作）後相應各自的函式增量（函式的微分）。利用上面切線斜率的定義，將這些細小函式增量累計求和（稱之為積分操作）：
上面的Sum表示求和，萊布尼茲為了方便，用第一個字母S拉長表示積分符號（沿用至今）。這個符號就是對無窮小的微分進行求和而已。
等式最左邊表示求和起止點對應函式值之差，而最右邊表示導函式（切線斜率）在這個範圍內的積分操作——這就是著名的牛頓-萊布尼茲公式，揭示了微分和積分互為逆運算。
現在應該明白了為何求積分時後面為何要加一個 之類的東西了吧？這不是數學書寫習慣，也不是故意要這麼寫，而是有其數學意義的。
積分的本質就是對無窮個無窮小量進行求和所得，因此從這個意義上來講，dy，dx本身不是一個有限常量，也不是一個變數，而是一個動態變化的無窮小量，而微分關係則反映了這些不同微分量之間的關係。
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這一項是非常重要的一項，它屬於微分結果的組成部分，無論它多麼小也不可忽略（理解一下質變到量變，不僅是在積分上，在導數定義上也是如此）。因此，要注意微分和導函式（微商）不是同一個東西。
比如複合函式 ，利用公式(3)求二階微分有
我們用它可以很方便求對 的二階導數：將 以及 代入後得
將上式兩邊同時除以 ，並考慮到 ，有
這個結果與直接對函式 兩次求導的結果是一樣的。