皮科克和德摩根的名稱後來為英國效學家託德亨特(I．Todhunter．1B2O一1884)的‘代效)(1866年第4敝)所採用並因而得到廣泛傳播．他在該書中介紹這種證明方法時．使用了兩個名稱 “效學歸納法”和。證明歸納法 ，但該章的題目卻用的是前者．這兩十名稱後來又為英國邏輯學家傑文斯(w．S．Jevons，1835—1882)的‘邏輯初等教程)(ElementaryLessons in Lo ，1882)以及菲科林(J．Ficklin)的‘完全代效)(CompteteAlgebra．1874)所使用，後者宣稱是受惠於託德亨特．隨著時間的推移，後來的通用教科書的作者們，倒如英國教育家、效學家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的‘代效)第2卷以及霍爾(H．S．Hal1)和納特(s．R．KmgM)臺著的‘代效》(1898)、奧爾迪斯(w．S．Aktis)的‘代效教科書~(Textbook 0f Algebra．1887)等都只用。效學歸納法 而不再使用“證明歸納法”
數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。
基本步驟
（一）第一數學歸納法：
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
（二）第二數學歸納法：
對於某個與自然數 有關的命題 ，
（1）驗證 n=n0時 P(n)成立；
（2）假設 no<n<k時 P(n)成立，並在此基礎上，推出 P(k+1)成立。
綜合（1）（2）對一切自然數 n(>n0)，命題P(n)都成立；
（三）倒推歸納法（反向歸納法）：
（1）對於無窮多個自然數命題 P（n）成立；
（2）假設P(k+1)成立，並在此基礎上推出P(k)成立，
綜合（1）（2），對一切自然數 n(>n0),命題P(n)都成立；
（四）螺旋式歸納法
P（n），Q（n）為兩個與自然數 有關的命題，假如
（1）P(n0)成立；
（2）假設 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假設 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；
綜合（1）（2）,對於一切自然數n（>n0），P(n),Q(n)都成立；
應用
1.確定一個表示式在所有自然數範圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。
2.數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表示式是等價表示式。
3.證明數列前n項和與通項公式的成立歷史
已知最早的使用數學歸納法的證明出現於 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用遞推關係巧妙的證明出證明了前 n 個奇數的總和是 n^2，由此揭開了數學歸納法之謎。
最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時一個表示式成立，這種方法是由下面兩步組成:
遞推的基礎: 證明當n = 1時表示式成立。
遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那麼當n = m + 1時同樣成立。
這種方法的原理在於第一步證明起始值在表示式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重複不斷進行的過程中。
或許想成多米諾效應更容易理解一些，如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定：
第一張骨牌將要倒下，只要某一個骨牌倒了，與他相臨的下一個骨牌也要倒，那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。
這樣就確定出一種遞推關係，只要滿足兩個條件就會導致所有骨牌全都倒下：
（1）第一塊骨牌倒下
（2）任意兩塊相鄰骨牌，只要前一塊倒下，後一塊必定倒下
這樣，無論有多少骨牌，只要保證（1）（2）成立，就會全都倒下
歷史：
已知最早的使用數學歸納法的證明出現於 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用遞推關係巧妙的證明出證明了前 n 個奇數的總和是 n^2，由此揭開了數學歸納法之謎。
無論是毛羅利科還是帕斯卡．也無論是伯努利還是其後的效學家們，雖然都在不斷地使用效學歸納法．但在很長的時期內並授有給他們的方法以任何名稱．只是由於沃利斯以及雅各布·伯努利的工作．才引進了 歸納法 這一名稱．並在兩種截然不同的意義上應用於效學：(1)以特惻獲得一般結論的沃利斯方式I(2)指定從到 +l的論證．並且影響了其後的效學家們．使這種混用狀態大約持續了140年．倒如，l9世紀上半葉，英國的效學家皮科克(G．Peacc~k，1791—1858)在他的《代效學)(Treatise∞ Algebra．劍橋．1830)的排列與組合部分．談到。梅成的規律用歸納法延伸到任意效 ．是從。預攫f 意義上以沃利斯方式使用 歸納法 的．後來，他又將從“到R+1的論證稱之為。證明歸納法 (demonstrativeinduction)．在名稱上邁出重要一步的是英國效學家德摩根(A．de Morgan，1806—1871)．1838年在倫敦出版的‘小百科全書》(Penny Cydopedia)中．越摩根在他的條目“歸納法(效學) 裡建議使用“逐收歸納法 (Succesiveinduction)．但在該條目的最後他偶然地使用了術語 效學歸納法 ，這是我們所能看到這一術語的最早一孜使用．
皮科克和德摩根的名稱後來為英國效學家託德亨特(I．Todhunter．1B2O一1884)的‘代效)(1866年第4敝)所採用並因而得到廣泛傳播．他在該書中介紹這種證明方法時．使用了兩個名稱 “效學歸納法”和。證明歸納法 ，但該章的題目卻用的是前者．這兩十名稱後來又為英國邏輯學家傑文斯(w．S．Jevons，1835—1882)的‘邏輯初等教程)(ElementaryLessons in Lo ，1882)以及菲科林(J．Ficklin)的‘完全代效)(CompteteAlgebra．1874)所使用，後者宣稱是受惠於託德亨特．隨著時間的推移，後來的通用教科書的作者們，倒如英國教育家、效學家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的‘代效)第2卷以及霍爾(H．S．Hal1)和納特(s．R．KmgM)臺著的‘代效》(1898)、奧爾迪斯(w．S．Aktis)的‘代效教科書~(Textbook 0f Algebra．1887)等都只用。效學歸納法 而不再使用“證明歸納法”