，早晚的關張。

我知道皮亞諾公理，也瞭解一點集合論，但頭一回聽說“序數理論”這個概念。很好，我一直不知道還有什麼概念能解釋皮亞諾公理，因為在我的研究中這個公理是基礎性的東西，而我一直引用羅素關於這個公理的敘述，沒看或皮亞諾公理的原著。羅素在他的《數理哲學導論》中，說皮亞諾公理的三個基本概念是“0”、“數”和“後繼”，另有五個基本命題。在那本書裡，羅素把自然數理解為是一種“數串”，我估計現在網上的關於皮亞諾公里的資料是經過後來人加工過得，為的是與現行數學知識或表達方式相一致，尤其結合了集合論，已經看不清皮亞諾本人的真實意思了。其實，很多數學理論都存在這個問題，後來的表達也許更嚴謹更精確，但這也會遮蔽掉許多當時建立那些理論的人更豐富的思想。這對於學習和掌握前人的知識也許是必要的，但對於發展這些知識則絕對是不利的。在介紹皮亞諾公理時，羅素還提出“序級”的概念，並說，無論什麼序級，只要是複合皮亞諾公理的“串”，都可以作為純數學的基礎。在這裡，他把皮亞諾公里理解的更為寬泛（例如，它應該包括伸出的手指或構成的“串”，而手指，我們都知道是不一般齊的，但這絕不影響它發揮著與數軸同樣的作用），但是他後來的似乎並不對此感興趣，因為我們會發現，至今除了望月新一可能在他的論文中用到了某些新的數串，沒聽說誰發現了什麼新的數。就是說，至今的人們在利用皮亞諾公理時，僅僅用來解釋自然數是什麼，沒有用它創造出新的數。

事實上，函式就是這種數。只要我們把皮亞諾的“數”的概念擴充套件為“函式法則”就可以了。那麼，函式就是由“0”、“函式法則”和“後繼”構成的“數”了。我不知道當初萊布尼茨牛頓他們是不是把“函式”當做是一種特殊的“數”來看待的。函式的理論經過後人的發展和“完善”，建立函式的人最初的思想永遠地被我們忽視了。廣義上說，自然數也是“函式”。只不過它的法則更簡單，就是以“1”為單位構成的“數串”，它的函式影象是一條45°斜線。而任何其他函式的影象都不會與這條斜線重合。我最後想說的是，皮亞諾公理遠沒有被人們充分地認識、理解並應用，至於“數序理論”能否對此有什麼幫助我就更不知道了，因為我看到，數序理論似乎與集合論也有某種聯絡。越是完美的理論越有可能掩蓋了這門科學歷史的某些真相，因此，理論的創新不是透過不斷修葺使它盡善盡美，而是透過深入弘揚它的歷史，在擴大和加固它的基礎上實現的。

皮亞諾公理：朱塞佩.皮亞諾1858年8月27日生於義大利東北部庫內奧省的農村。他以發現充滿空間的曲線及提出算術公理聞名於世，又是微積分嚴格化方面的專家，晚年則致力於國際語的研究。