結果為：在定義域R內有界解題過程如下：∵定義域為R令t=x^2>=0則f=(t+1)/(t^2+1)=t/(t^2+1)+1/(t^2+1)t=0時，f=1t>0時，f=1/(t+1/t)+1/(t^2+1)∵t+1/t>=2∴0<1/(t+1/t)<=1/2∵0<1/(t^2+1)<1∴0<f<=3/2∴在R內有界
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結果為：在定義域R內有界解題過程如下：∵定義域為R令t=x^2>=0則f=(t+1)/(t^2+1)=t/(t^2+1)+1/(t^2+1)t=0時，f=1t>0時，f=1/(t+1/t)+1/(t^2+1)∵t+1/t>=2∴0<1/(t+1/t)<=1/2∵0<1/(t^2+1)<1∴0<f<=3/2∴在R內有界
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有界函式判定方法：設函式f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函式f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函式f(x)在A上無界 設f為定義在D上的函式，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。則稱ƒ在D上有上（下）界的函式，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界 。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。所以，一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。