點動成線,線動成面,既然點沒有長度,為什麼無數個點加起來怎麼會有長度呢?豈不是邏輯上有矛盾？在我們內心還會有其他類似的疑問產生,既然點沒有長度那我線上段上加上無數個點,那它的長度不變?長度為1cm的線段由無數個點構成,2cm的線段也由無數個點構成,那前面的無數個等於後面的無數個,所以1cm=2cm;等等.今天我用相對通俗的語言解釋這一切的不合理.
"勢":集合元素的個數.集合元素個數相等叫等勢.對於元素有無窮個的集合我們將它分為兩類:
可數無窮集也叫可數集,可數集指的是元素與自然數可以構成一一對應的關係,也就是我們如果將集合中的元素一一編號,可以1、2、3..這樣一直數下去,雖然是無窮的,但從理論上我們可以數完自然數,自然就數完了集合中的所有元素;
不可數無窮集也叫不可數集.它既不是有限集,又不是可數集,在不可數集合中,有些集合與全體實數集合是等勢的,這樣的集合叫連續統集合.
一條直線上的點是連續的,無論怎麼巧妙給這些點編號,都不可能把這些點給數完的.它們是不可數的,有人會說,這不是自欺欺人嘛?反正都是無窮個,事實上都無法數完,那麼在理論上區分"想象中數得完"和想象中數不完"有什麼實際意義嗎?有的,正是這一點差別,才造成了沒有大小的點到有長度的線的飛躍.
根據"測度"理論,測試的性質有以下幾條:1.空集的測度為0;2.若干個(至多可數無窮個)彼此不相交的子集,它們並在一起得到的測試,等於各子集測試之和;增加一個性質就可以得到長度的概念了,3.如果我們把直線看作實數軸,從直線上的a點到b點的線段的測試為b-a.這樣就解釋了長度概念.大家理解嗎?可能還有疑問,請繼續看完.
不可數集是不可加的
根據我們平常的想法,我們把線段上無窮個點的測度加起來就行了,可事實任何線段都是由不可數個點組成的(它們是連續的).為什麼?為什麼?很多問題之所以令人疑惑,不是因為它真的是什麼悖論，而是它們沒有被恰當的描述,人們習慣於把所有數字加起來,但是對於不可數個點,人們無法做到把它們一下子加起來的,加法是一個遞迴的過程,如果要加的東西太多,不可數,那就沒辦法加了.這樣的話,在數學上,必須對不可數個數定義總和,這些特殊意義的和是為了應付特別的目的而定義的,它和我們平時所說的求和已經不是一個意思了.
點動成線,線動成面,既然點沒有長度,為什麼無數個點加起來怎麼會有長度呢?豈不是邏輯上有矛盾？在我們內心還會有其他類似的疑問產生,既然點沒有長度那我線上段上加上無數個點,那它的長度不變?長度為1cm的線段由無數個點構成,2cm的線段也由無數個點構成,那前面的無數個等於後面的無數個,所以1cm=2cm;等等.今天我用相對通俗的語言解釋這一切的不合理.
瞭解一些集合的相關概念"勢":集合元素的個數.集合元素個數相等叫等勢.對於元素有無窮個的集合我們將它分為兩類:
可數無窮集也叫可數集,可數集指的是元素與自然數可以構成一一對應的關係,也就是我們如果將集合中的元素一一編號,可以1、2、3..這樣一直數下去,雖然是無窮的,但從理論上我們可以數完自然數,自然就數完了集合中的所有元素;
不可數無窮集也叫不可數集.它既不是有限集,又不是可數集,在不可數集合中,有些集合與全體實數集合是等勢的,這樣的集合叫連續統集合.
一條直線上的點是連續的,無論怎麼巧妙給這些點編號,都不可能把這些點給數完的.它們是不可數的,有人會說,這不是自欺欺人嘛?反正都是無窮個,事實上都無法數完,那麼在理論上區分"想象中數得完"和想象中數不完"有什麼實際意義嗎?有的,正是這一點差別,才造成了沒有大小的點到有長度的線的飛躍.
根據"測度"理論,測試的性質有以下幾條:1.空集的測度為0;2.若干個(至多可數無窮個)彼此不相交的子集,它們並在一起得到的測試,等於各子集測試之和;增加一個性質就可以得到長度的概念了,3.如果我們把直線看作實數軸,從直線上的a點到b點的線段的測試為b-a.這樣就解釋了長度概念.大家理解嗎?可能還有疑問,請繼續看完.
不可數集是不可加的
根據我們平常的想法,我們把線段上無窮個點的測度加起來就行了,可事實任何線段都是由不可數個點組成的(它們是連續的).為什麼?為什麼?很多問題之所以令人疑惑,不是因為它真的是什麼悖論，而是它們沒有被恰當的描述,人們習慣於把所有數字加起來,但是對於不可數個點,人們無法做到把它們一下子加起來的,加法是一個遞迴的過程,如果要加的東西太多,不可數,那就沒辦法加了.這樣的話,在數學上,必須對不可數個數定義總和,這些特殊意義的和是為了應付特別的目的而定義的,它和我們平時所說的求和已經不是一個意思了.