這個問題可真是深得我心啊，當年高中立體幾何時可是能不建系就不建系啊。這個題目用我不建系教的經典方法，等體積法，我覺得最為簡單。還是隻看第二問，不妨試。題目求的角就等價於求平面和平面的夾角。我們來算三稜錐的體積。因為長度知道了，利用勾股定理能證明垂直於(是的中心)，因此：相當好算的對吧。另一方面，的面積是容易求出的，因為三邊是，面積可以算出是這樣，解得其中h是到的距離。然後呢，在平面內過向引垂線，也就是三角形的一條高，高的長度可以用等面積算出來是。這樣的話，二面角的正弦值就是餘弦值就是————————————————————————————多謝題主給我個機會重新做高考題，也算找回來一點點當年的感覺，既然這樣，今晚就腦洞大開的大鬧一發吧！再給一個更加幾何的做法。在平面內過向引垂線，也就是上文中的已經可以算出是現在過向平面引垂線，垂足為.那麼要知道二面角，要麼算出的長度，要麼算出到交線的距離.上文的方法是利用等體積求出了的長度，這次呢我們來算一下到交線的距離，順便讓大家看看到底在哪.這裡的方法也是不建系教的一個經典方法，就是沒名字。。首先再來，記是的中點，在等邊三角形中有，於是上面兩個最後的垂直關係都是在平面ABC中的，這樣我們在平面ABC中重新考慮這個問題，根據這兩個關係，就可以確定H是兩條垂線的焦點。重新畫個圖：大學幾乎就沒再做平面幾何題，好久沒用幾何畫板了。。說明一下，P是延長MH和CA的交點，L是H到AB的垂足下面的事情就是平面幾何的事情了，如果有人在這裡說要建系還是要pia飛的，說好的不建系啊！這裡我們要算的是HL.注意到，並且容易算出因此，所以只要求PH就好了.下面利用三角形相似，就有MC已經知道是1，那麼在直角三角形PMC中，可以解出AC也已知，因此都帶進去，就有因此因此二面角餘弦就是p.s.感覺回答到這個程度已經超出了知乎的要求，也超出了題主的要求了吧。。不為別的，只是為了發現一下對當年高中的懷念，那真是。。最壞的年代，卻也是最好的年代——之前回過一個平面幾何問題也有些許這種感覺，但沒那麼強烈，因為畢竟還是用到了一些高等代數里面的東西——高三的時候跟同桌變著法的做數學卷子，一次次的考試毫無意義但又充滿樂趣地關心自己的名次，還有每天中午在學校待到靜校為了給喜歡的女生講題還有和她一起回家路過一片薔薇花。。感謝題主。。
這個問題可真是深得我心啊，當年高中立體幾何時可是能不建系就不建系啊。這個題目用我不建系教的經典方法，等體積法，我覺得最為簡單。還是隻看第二問，不妨試。題目求的角就等價於求平面和平面的夾角。我們來算三稜錐的體積。因為長度知道了，利用勾股定理能證明垂直於(是的中心)，因此：相當好算的對吧。另一方面，的面積是容易求出的，因為三邊是，面積可以算出是這樣，解得其中h是到的距離。然後呢，在平面內過向引垂線，也就是三角形的一條高，高的長度可以用等面積算出來是。這樣的話，二面角的正弦值就是餘弦值就是————————————————————————————多謝題主給我個機會重新做高考題，也算找回來一點點當年的感覺，既然這樣，今晚就腦洞大開的大鬧一發吧！再給一個更加幾何的做法。在平面內過向引垂線，也就是上文中的已經可以算出是現在過向平面引垂線，垂足為.那麼要知道二面角，要麼算出的長度，要麼算出到交線的距離.上文的方法是利用等體積求出了的長度，這次呢我們來算一下到交線的距離，順便讓大家看看到底在哪.這裡的方法也是不建系教的一個經典方法，就是沒名字。。首先再來，記是的中點，在等邊三角形中有，於是上面兩個最後的垂直關係都是在平面ABC中的，這樣我們在平面ABC中重新考慮這個問題，根據這兩個關係，就可以確定H是兩條垂線的焦點。重新畫個圖：大學幾乎就沒再做平面幾何題，好久沒用幾何畫板了。。說明一下，P是延長MH和CA的交點，L是H到AB的垂足下面的事情就是平面幾何的事情了，如果有人在這裡說要建系還是要pia飛的，說好的不建系啊！這裡我們要算的是HL.注意到，並且容易算出因此，所以只要求PH就好了.下面利用三角形相似，就有MC已經知道是1，那麼在直角三角形PMC中，可以解出AC也已知，因此都帶進去，就有因此因此二面角餘弦就是p.s.感覺回答到這個程度已經超出了知乎的要求，也超出了題主的要求了吧。。不為別的，只是為了發現一下對當年高中的懷念，那真是。。最壞的年代，卻也是最好的年代——之前回過一個平面幾何問題也有些許這種感覺，但沒那麼強烈，因為畢竟還是用到了一些高等代數里面的東西——高三的時候跟同桌變著法的做數學卷子，一次次的考試毫無意義但又充滿樂趣地關心自己的名次，還有每天中午在學校待到靜校為了給喜歡的女生講題還有和她一起回家路過一片薔薇花。。感謝題主。。