^

a^2+b^2 ≥ 2ab

√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根號abc

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。

1、調和平均數：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )

2、幾何平均數：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )

3、算術平均數：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n

4、平方平均數：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)

5、均值定理： 如果屬於正實數那麼且僅當時 等號成立。

這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時取“=”號

擴充套件資料：

特例

⑴對實數a,b，有

（當且僅當a=b時取“=”號），

（當且僅當a=-b時取“=”號）

⑵對非負實數a,b，有

，即

⑶對非負實數a,b，有

⑷對非負實數a,b，a≥b,有

⑸對非負實數a,b，有

⑹對實數a,b，有

⑺對實數a,b,c，有

⑻對非負數a,b，有

⑼對非負數a,b,c，有

；在幾個特例中，最著名的當屬算術—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：

當n=2時，上式即：

；當且僅當

時，等號成立。

根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即

。