性質1： 設X是一個隨機變數，其分佈函式為F(x)，則Y=F(X)服從在〔0，1〕的均勻分佈。 性質2： 設X1,K,Xn是某個分佈的一個簡單樣本，其分佈函式為F(x)，由性質1可知，在機率意義下，F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均勻分佈，按從小到大依次排序，記為F(X1),F(X2),K,F(Xn)，其相應理論值應為ri=i-0,5[]n，i=1，2，…，n，對應分佈函式的反函式值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分佈中即為卡方分數）應非常接近X1,X2K,Xn，故在機率意義下，這些散點(X1,F-1(r1)),(X2,F-1(r2)),L,(Xn,F-1(rn))應在一條直線上。 根據性質2，如果X服從正態分佈，則散點理論上應落在一直線上，可以用Pearson係數刻畫這種分佈。但由於隨機變異的存在，Pearson係數並不等於1，所以透過隨機模擬的方法，制定出Pearson係數的95%界值下限。 性質3： 由條件機率公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)可知：（X，Y）服從二元正態分佈的充分必要條件是固定X，Y服從正態分佈(條件機率分佈)並且X的邊際分佈為正態分佈。由線性迴歸的性質ε=Y-(α+βX)可知，固定X，Y的條件機率分佈為正態分佈的充分必要條件是線性迴歸的殘差ε服從正態分佈，由此可得：（X，Y）服從二元正態分佈的充分必要條件是X的邊際分佈為正態分佈以及線性迴歸模型Y=α+βX+ε中的殘差服從正態分佈。 設X來自於正態總體，從正態總體中隨機模擬抽樣5000次，每次抽樣樣本含量分別為7至50，對F(x)求秩，求出排序後的F(x)和排序後的X的Pearson相關係數。表1 隨機模擬5000次得到的檢驗正態分佈的Pearson相關係數的界值（略） 類似地，我們也可以用同樣的方法得到檢驗卡方分佈的Pearson相關係數的界值表（簡化表）表2 相關係數界值表（略） 2 隨機模擬驗證 21 Pearson相關係數界值表的隨機模擬驗證 設X來自於正態總體，從正態總體中隨機模擬抽樣5000次，每次抽樣樣本含量分別為10，20，30，40，50，並計算相應的Pearson卡方係數，以及落在界值外面的比例，即拒絕比例，再在同一批資料的前提下用McNemar檢驗比較本方法和Swilk法的差別。表3 （一元正態分佈）模擬次數（略）表4（一元偏態分佈，χ2)模擬次數（略） 以上方法拒絕比例在樣本量為7的可信區間為［78.37%，94.12%］，在其餘樣本量時都接近100%，可以證實是正確的。 22 卡方分佈界值表的隨機模擬驗證 表5 卡方分佈：模擬5000次（略） 23 馬氏距離的隨機模擬驗證 根據馬氏距離的定義，從正態分佈總體中隨機抽取樣本量分別為10，20，30，40，50的樣本模擬5000次，根據上面提到的方法以卡方分數對X1,X2K,Xn求Pearson係數，並根據以上的相關係數界值表，計算相應的統計量，即拒絕比例。表6 馬氏距離落在Pearson係數界值表外的比例（略） 24 二元正態分佈資料的隨機模擬驗證 設定一個二維矩陣A，分別求出特徵值P和特徵向量Z，設X的元素均來自於正態總體分佈，則Y=Z′×X必服從二元正態分佈，隨機模擬5000次，根據性質三介紹的方法驗證的拒絕比例如下。表7 （二元正態分佈）模擬次數（略）表8 （二元偏態分佈，χ2）模擬次數（略） 25 三元正態分佈資料的隨機模擬驗證 類似地，隨機模擬5000次，用同樣方法進行驗證，得到對於三元正態分佈資料的拒絕比例。表9 （三元正態分佈）模擬次數：5000次
性質1： 設X是一個隨機變數，其分佈函式為F(x)，則Y=F(X)服從在〔0，1〕的均勻分佈。 性質2： 設X1,K,Xn是某個分佈的一個簡單樣本，其分佈函式為F(x)，由性質1可知，在機率意義下，F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均勻分佈，按從小到大依次排序，記為F(X1),F(X2),K,F(Xn)，其相應理論值應為ri=i-0,5[]n，i=1，2，…，n，對應分佈函式的反函式值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分佈中即為卡方分數）應非常接近X1,X2K,Xn，故在機率意義下，這些散點(X1,F-1(r1)),(X2,F-1(r2)),L,(Xn,F-1(rn))應在一條直線上。 根據性質2，如果X服從正態分佈，則散點理論上應落在一直線上，可以用Pearson係數刻畫這種分佈。但由於隨機變異的存在，Pearson係數並不等於1，所以透過隨機模擬的方法，制定出Pearson係數的95%界值下限。 性質3： 由條件機率公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)可知：（X，Y）服從二元正態分佈的充分必要條件是固定X，Y服從正態分佈(條件機率分佈)並且X的邊際分佈為正態分佈。由線性迴歸的性質ε=Y-(α+βX)可知，固定X，Y的條件機率分佈為正態分佈的充分必要條件是線性迴歸的殘差ε服從正態分佈，由此可得：（X，Y）服從二元正態分佈的充分必要條件是X的邊際分佈為正態分佈以及線性迴歸模型Y=α+βX+ε中的殘差服從正態分佈。 設X來自於正態總體，從正態總體中隨機模擬抽樣5000次，每次抽樣樣本含量分別為7至50，對F(x)求秩，求出排序後的F(x)和排序後的X的Pearson相關係數。表1 隨機模擬5000次得到的檢驗正態分佈的Pearson相關係數的界值（略） 類似地，我們也可以用同樣的方法得到檢驗卡方分佈的Pearson相關係數的界值表（簡化表）表2 相關係數界值表（略） 2 隨機模擬驗證 21 Pearson相關係數界值表的隨機模擬驗證 設X來自於正態總體，從正態總體中隨機模擬抽樣5000次，每次抽樣樣本含量分別為10，20，30，40，50，並計算相應的Pearson卡方係數，以及落在界值外面的比例，即拒絕比例，再在同一批資料的前提下用McNemar檢驗比較本方法和Swilk法的差別。表3 （一元正態分佈）模擬次數（略）表4（一元偏態分佈，χ2)模擬次數（略） 以上方法拒絕比例在樣本量為7的可信區間為［78.37%，94.12%］，在其餘樣本量時都接近100%，可以證實是正確的。 22 卡方分佈界值表的隨機模擬驗證 表5 卡方分佈：模擬5000次（略） 23 馬氏距離的隨機模擬驗證 根據馬氏距離的定義，從正態分佈總體中隨機抽取樣本量分別為10，20，30，40，50的樣本模擬5000次，根據上面提到的方法以卡方分數對X1,X2K,Xn求Pearson係數，並根據以上的相關係數界值表，計算相應的統計量，即拒絕比例。表6 馬氏距離落在Pearson係數界值表外的比例（略） 24 二元正態分佈資料的隨機模擬驗證 設定一個二維矩陣A，分別求出特徵值P和特徵向量Z，設X的元素均來自於正態總體分佈，則Y=Z′×X必服從二元正態分佈，隨機模擬5000次，根據性質三介紹的方法驗證的拒絕比例如下。表7 （二元正態分佈）模擬次數（略）表8 （二元偏態分佈，χ2）模擬次數（略） 25 三元正態分佈資料的隨機模擬驗證 類似地，隨機模擬5000次，用同樣方法進行驗證，得到對於三元正態分佈資料的拒絕比例。表9 （三元正態分佈）模擬次數：5000次