特徵向量的幾何意義

特徵向量確實有很明確的幾何意義,矩陣(既然討論特徵向量的問題,當然是方陣,這裡不討論廣義特徵向量的概念,就是一般的特徵向量)乘以一個向量的結果仍 是同維數的一個向量,因此,矩陣乘法對應了一個變換,把一個向量變成同維數的另一個向量,那麼變換的效果是什麼呢?這當然與方陣的構造有密切關係,比如可 以取適當的二維方陣,使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度,這時我們可以問一個問題,有沒有向量在這個變換下不改變方向呢?可以想 一下,除了零向量,沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的,所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能 是零向量),所以一個變換的特徵向量是這樣一種向量,它經過這種特定的變換後保持方向不變,只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎?cx是方陣A對向量x進行變換後的結果,但顯然cx和x的方向相同),而且x是特徵向量的話,ax也是特徵向量(a是標 量且不為零),所以所謂的特徵向量不是一個向量而是一個向量族,另外,特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已,對一個變換而言,特徵向量指明的方向才是很重要的,特徵值不是那麼重要,雖然我們求這兩個量時 先求出特徵值,但特徵向量才是更本質的東西!