例1求下列各數的絕對值：
(1)－38； (2)0.15； (3)a(a＜0)； (4)3b(b＞0)； (5)a－2(a＜2)； (6)a－b．
例2判斷下列各式是否正確(正確入“T”，錯誤入“F”)： (1)｜－a｜＝｜a｜； ( ) (2)－｜a｜＝｜－a｜； ( )
(4)若｜a｜＝｜b｜，則a＝b； ( ) (5)若a＝b，則｜a｜＝｜b｜； ( ) (6)若｜a｜＞｜b｜，則a＞b； ( ) (7)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜； ( ) (8)若a＞b，則｜b－a｜＝a－b． ( ) 例3判斷對錯．(對的入“T”，錯的入“F”)
(1)如果一個數的相反數是它本身，那麼這個數是0． ( ) (2)如果一個數的倒數是它本身，那麼這個數是1和0． ( ) (3)如果一個數的絕對值是它本身，那麼這個數是0或1． ( ) (4)如果說“一個數的絕對值是負數”，那麼這句話是錯的． ( ) (5)如果一個數的絕對值是它的相反數，那麼這個數是負數． ( ) 例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．
例5填空：
(1)若｜a｜＝6，則a＝______； (2)若｜－b｜＝0.87，則b＝______； (4)若x＋｜x｜＝0，則x是______數． 例6 判斷對錯：(對的入“T”，錯的入“F”) (1)沒有最大的自然數． ( ) (2)有最小的偶數0． ( ) (3)沒有最小的正有理數． ( ) (4)沒有最小的正整數． ( ) (5)有最大的負有理數． ( ) (6)有最大的負整數－1． ( ) (7)沒有最小的有理數． ( ) (8)有絕對值最小的有理數． ( )
例7 比較下列每組數的大小，在橫線上填上適當的關係符號 (“＜”“＝”“＞”)
(1)｜－0.01｜______－｜100｜； (2)－(－3)______－｜－3｜； (3)－[－(－90)]_______0；
(4)當a＜3時，a－3______0；｜3－a｜______a－3．
例8在數軸上畫出下列各題中x的範圍： (1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．
例9 (1)求絕對值不大於2的整數；
(2)已知x是整數，且2.5＜|x|＜7，求x．
例10解方程：
(1) 已知｜14－x｜＝6，求x；
*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．
*例11 化簡｜a＋2｜－｜a－3｜
1，解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15； (3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a； (4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b； (5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；
分析：判斷上述各小題正確與否的依據是絕對值的定義，所以思維應集中到用絕對值的定義來判斷每一個結論的正確性．判數(或證明)一個結論是錯誤的，只要能舉出反例即可．如第(2)小題中取a＝1，則－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小題中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小題中取a＝5，b＝－5等，都可以充分說明結論是錯誤的．要證明一個結論正確，須寫出證明過程．如第(3)小題是正確的．證明步驟如下： 此題證明的依據是利用｜a｜的定義，化去絕對值符號即可．對於證明第(1)、(5)、(8)小題要注意字母取零的情況．
2，解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小題不正確，(1)、(3)、(5)、(8)小題是正確的． 說明：判斷一個結論是正確的與證明它是正確的是相同的思維過程，只是在證明時需要寫明道理和依據，步驟都要較為嚴格、規範．而判斷一個結論是錯誤的，可依據概念、性質等知識，用推理的方法來否定這個結論，也可以用舉反例的方法，後者有時更為簡便．
3，解：(1)T． (2)F．－1的倒數也是它本身，0沒有倒數．
(3)F．正數的絕對值都等於它本身，所以絕對值是它本身的數是正數和0． (4)T．任何一個數的絕對值都是正數或0，不可能是負數，所以這句話是錯的． (5)F．0的絕對值是0，也可以認為是0的相反數，所以少了一個數0． 說明：解判斷題時應注意兩點： (1)必須“緊扣”概念進行判斷； (2)要注意檢查特殊數，如0，1，－1等是否符合題意．
分析：根據平方數與絕對值的性質，式中(a－1)2與｜b＋3｜都是非負數．因為兩個非負數的和為“0”，當且僅當每個非負數的值都等於0時才能成立，所以由已知條件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．
4，解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0 ∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1，b＝－3．
說明：對於任意一個有理數x，x2≥0和｜x｜≥0這兩條性質是十分重要的，在解題過程中經常用到．
分析：已知一個數的絕對值求這個數，則這個數有兩個，它們是互為相反數． 5，解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6； (2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；
(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0，∴－x≥0∴x≤0，x是非正數． 說明：“絕對值”是代數中最重要的概念之一，應當從正、逆兩個方面來理解這個概念．
對絕對值的代數定義，至少要認識到以下四點：
6，
解：(1)T．
(2)F．數的範圍擴充套件後，偶數的範圍也隨之擴充套件．偶數包含正偶數，0，負偶數(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶數，偶數沒有最小的． (3)T． (4)F．有最小的正整數1． (5)F．沒有最大的負有理數． (6)T． (7)T． (8)T．絕對值最小的有理數是0．
分析：比較兩個有理數的大小，需先將各數化簡，然後根據法則進行比較． 7，解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜； (2)－(－3)＞－｜－3｜； (3)－[－(－90)]＜0； (4)當a＜3時，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3． 說明：比較兩個有理數大小的依據是：
①在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，正數大於0，大於一切負數，負數小於0，小於一切正數，兩個負數，絕對值大的反而小．
②兩個正分數，若分子相同則分母越大分數值越小；若分母相同，則分子越大分數值越大；也可將分數化成小數來比較．
例1求下列各數的絕對值：
(1)－38； (2)0.15； (3)a(a＜0)； (4)3b(b＞0)； (5)a－2(a＜2)； (6)a－b．
例2判斷下列各式是否正確(正確入“T”，錯誤入“F”)： (1)｜－a｜＝｜a｜； ( ) (2)－｜a｜＝｜－a｜； ( )
(4)若｜a｜＝｜b｜，則a＝b； ( ) (5)若a＝b，則｜a｜＝｜b｜； ( ) (6)若｜a｜＞｜b｜，則a＞b； ( ) (7)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜； ( ) (8)若a＞b，則｜b－a｜＝a－b． ( ) 例3判斷對錯．(對的入“T”，錯的入“F”)
(1)如果一個數的相反數是它本身，那麼這個數是0． ( ) (2)如果一個數的倒數是它本身，那麼這個數是1和0． ( ) (3)如果一個數的絕對值是它本身，那麼這個數是0或1． ( ) (4)如果說“一個數的絕對值是負數”，那麼這句話是錯的． ( ) (5)如果一個數的絕對值是它的相反數，那麼這個數是負數． ( ) 例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．
例5填空：
(1)若｜a｜＝6，則a＝______； (2)若｜－b｜＝0.87，則b＝______； (4)若x＋｜x｜＝0，則x是______數． 例6 判斷對錯：(對的入“T”，錯的入“F”) (1)沒有最大的自然數． ( ) (2)有最小的偶數0． ( ) (3)沒有最小的正有理數． ( ) (4)沒有最小的正整數． ( ) (5)有最大的負有理數． ( ) (6)有最大的負整數－1． ( ) (7)沒有最小的有理數． ( ) (8)有絕對值最小的有理數． ( )
例7 比較下列每組數的大小，在橫線上填上適當的關係符號 (“＜”“＝”“＞”)
(1)｜－0.01｜______－｜100｜； (2)－(－3)______－｜－3｜； (3)－[－(－90)]_______0；
(4)當a＜3時，a－3______0；｜3－a｜______a－3．
例8在數軸上畫出下列各題中x的範圍： (1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．
例9 (1)求絕對值不大於2的整數；
(2)已知x是整數，且2.5＜|x|＜7，求x．
例10解方程：
(1) 已知｜14－x｜＝6，求x；
*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．
*例11 化簡｜a＋2｜－｜a－3｜
1，解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15； (3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a； (4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b； (5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；
分析：判斷上述各小題正確與否的依據是絕對值的定義，所以思維應集中到用絕對值的定義來判斷每一個結論的正確性．判數(或證明)一個結論是錯誤的，只要能舉出反例即可．如第(2)小題中取a＝1，則－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小題中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小題中取a＝5，b＝－5等，都可以充分說明結論是錯誤的．要證明一個結論正確，須寫出證明過程．如第(3)小題是正確的．證明步驟如下： 此題證明的依據是利用｜a｜的定義，化去絕對值符號即可．對於證明第(1)、(5)、(8)小題要注意字母取零的情況．
2，解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小題不正確，(1)、(3)、(5)、(8)小題是正確的． 說明：判斷一個結論是正確的與證明它是正確的是相同的思維過程，只是在證明時需要寫明道理和依據，步驟都要較為嚴格、規範．而判斷一個結論是錯誤的，可依據概念、性質等知識，用推理的方法來否定這個結論，也可以用舉反例的方法，後者有時更為簡便．
3，解：(1)T． (2)F．－1的倒數也是它本身，0沒有倒數．
(3)F．正數的絕對值都等於它本身，所以絕對值是它本身的數是正數和0． (4)T．任何一個數的絕對值都是正數或0，不可能是負數，所以這句話是錯的． (5)F．0的絕對值是0，也可以認為是0的相反數，所以少了一個數0． 說明：解判斷題時應注意兩點： (1)必須“緊扣”概念進行判斷； (2)要注意檢查特殊數，如0，1，－1等是否符合題意．
分析：根據平方數與絕對值的性質，式中(a－1)2與｜b＋3｜都是非負數．因為兩個非負數的和為“0”，當且僅當每個非負數的值都等於0時才能成立，所以由已知條件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．
4，解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0 ∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1，b＝－3．
說明：對於任意一個有理數x，x2≥0和｜x｜≥0這兩條性質是十分重要的，在解題過程中經常用到．
分析：已知一個數的絕對值求這個數，則這個數有兩個，它們是互為相反數． 5，解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6； (2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；
(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0，∴－x≥0∴x≤0，x是非正數． 說明：“絕對值”是代數中最重要的概念之一，應當從正、逆兩個方面來理解這個概念．
對絕對值的代數定義，至少要認識到以下四點：
6，
解：(1)T．
(2)F．數的範圍擴充套件後，偶數的範圍也隨之擴充套件．偶數包含正偶數，0，負偶數(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶數，偶數沒有最小的． (3)T． (4)F．有最小的正整數1． (5)F．沒有最大的負有理數． (6)T． (7)T． (8)T．絕對值最小的有理數是0．
分析：比較兩個有理數的大小，需先將各數化簡，然後根據法則進行比較． 7，解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜； (2)－(－3)＞－｜－3｜； (3)－[－(－90)]＜0； (4)當a＜3時，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3． 說明：比較兩個有理數大小的依據是：
①在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，正數大於0，大於一切負數，負數小於0，小於一切正數，兩個負數，絕對值大的反而小．
②兩個正分數，若分子相同則分母越大分數值越小；若分母相同，則分子越大分數值越大；也可將分數化成小數來比較．