數字的華容道怎麼玩
方法/步驟
1/6分步閱讀
首先，以4階數字推盤為例，復原分為3個階段第一階段：復原前兩行，n階推盤為前n-2行，第二階段：將後兩行排列為形式，第三階段：全部復原將推盤各位置命名。第一階段：依照數字由小到大順序依次復原1-8一、復原1 2 3 4數字1 2 3的復原比較簡單，按照數字大小順序從1開始，依次復原。在保持已復原較小數字位置不變的情況下，很容易把較大數字移到相應位置，沒有什麼技術含量。數字4分為兩種情況：數字3復原後4恰巧移入相應位置，十分走運。事實上在移動1、2、3過程中稍加留意，可以人為製造直接移入機會，省去下步笨辦法。
2/6
然後，大多數情況下4無法直接移入，在D1處有其他數字佔位。這時很容易把4排列在D3的位置，依次移動D1→D2；C1→D1；C2→C1；D2→C2；D3→D2，推盤變為，這時透過使C1、C2、C3依次挪位，可把3、4逆時針轉入C1、D1，完成。二、復原5 6 7 8，與1 2 3 4同理。第二階段：保持前兩行不動，復原後兩行1、將9移動至A3，並使A4不為空格，沒有技術含量。2、分兩種情況 一、A4數字不是10：保持A3、A4不動，很容易將10移至B3 二、A4數字是10：保持9、10不動，將空格移至B4。
3/6
然後，依次移動A4→B4，A3→A4，B3→A3，保持A3、A4不動，將10移至C3，依次移動A3→B3，A4→A3，B4→A4，B3→B4，C3→B3兩種情況最後均得到，之後將9、10依次逆時針轉入A4、A3，完成。3、將11、12移動至B4、B3注意到移動9、10過程中只用到了A3：C4六格區域。所以保持9、10不變，利用B3：D4六格區域同理可以完成11、12的移動。第三階段：復原在第二階段基礎上，移動C3：D4四格數字，依次移動9-12與13-15，很容易復原（12→C3，11→B3，13→B4，14→C4，15→D4，如此依次）。
4/6
然後，以上為四階數字推盤通法，同理可推廣至n 階推盤。數字推盤這種解法主要利用的是四格（3數字+1空格）、六格（5數字+1空格）的小區域旋轉迴圈。注意到迴圈的最小區域為2*2四格，所以邊角地區，如3和4需兩列一起解決。最後兩行透過將較小數字如9、10並列放置在最左側一列，為之後復原提供空間。n階最後兩行即需要依次把較小數字並列放在最左側，騰出右側空間。以上方法為考慮各種情況，適用n階的最常規解法，略顯繁瑣。按照此法普通人一分鐘內可以完成4階復原。練熟後有些步驟可以省去。玩了兩小時發現的個人解法，可能有更優解。好多評論問到了無解的情況，補充一下相關討論。
5/6
然後，復原最後一步13 14 15時會遇到兩種情況，不妨設空位為數字0（所設數字並不影響最終結論）：把推盤變為一階排列Ⅰ:（1 2 3 … 12 13 14 15 0）與Ⅱ:（1 2 3 … 12 13 15 14 0）這時每次移動可看作數字0與其它某一數字x的對換（設0所在序數為n，事實上是0與n±1、n±4位置上元素的對換）Ⅰ為正常情況，現考慮如何復原Ⅱ：復原排列Ⅱ等價於對排列Ⅱ進行對換（14，15），問題轉化為對換（14，15）能否寫成若干個（0，x）對換的乘積。由於一次對換（14，15）改變原排列奇偶性，所以（0，x）對換個數必為奇數。而要將D4處數字0最終移回D4，移動次數必為偶數（上移次數等於下移次數，左移次數等於右移次數），所以排列Ⅱ無法還原為（1 2 3 … 12 13 14 15 0）。也就是說，在保證其它數字位置不變的情況下，無法實現兩個數字的位置互換。@高世奇 的回答裡有更普遍的證明。
6/6
最後，由於數字1-13的復原只利用6或4小區域迴圈移動，只涉及位置調整，與其它位置的數字無關，所以無論原始推盤如何排列，最終都可變換為Ⅰ、Ⅱ兩種情況。設1-15全排列為A：A=B∪C，B中排列復原後為情況Ⅰ，C為情況Ⅱ。∀排列b∈B，作用對換（14，15），得排列c∈C，集合C同理。所以可以構造集合B到C的一一對映，即card(B)=card(C)。因此在數字推盤所有隨機排列中，有1/2的排列無解。
數字的華容道怎麼玩
方法/步驟
1/6分步閱讀
首先，以4階數字推盤為例，復原分為3個階段第一階段：復原前兩行，n階推盤為前n-2行，第二階段：將後兩行排列為形式，第三階段：全部復原將推盤各位置命名。第一階段：依照數字由小到大順序依次復原1-8一、復原1 2 3 4數字1 2 3的復原比較簡單，按照數字大小順序從1開始，依次復原。在保持已復原較小數字位置不變的情況下，很容易把較大數字移到相應位置，沒有什麼技術含量。數字4分為兩種情況：數字3復原後4恰巧移入相應位置，十分走運。事實上在移動1、2、3過程中稍加留意，可以人為製造直接移入機會，省去下步笨辦法。
2/6
然後，大多數情況下4無法直接移入，在D1處有其他數字佔位。這時很容易把4排列在D3的位置，依次移動D1→D2；C1→D1；C2→C1；D2→C2；D3→D2，推盤變為，這時透過使C1、C2、C3依次挪位，可把3、4逆時針轉入C1、D1，完成。二、復原5 6 7 8，與1 2 3 4同理。第二階段：保持前兩行不動，復原後兩行1、將9移動至A3，並使A4不為空格，沒有技術含量。2、分兩種情況 一、A4數字不是10：保持A3、A4不動，很容易將10移至B3 二、A4數字是10：保持9、10不動，將空格移至B4。
3/6
然後，依次移動A4→B4，A3→A4，B3→A3，保持A3、A4不動，將10移至C3，依次移動A3→B3，A4→A3，B4→A4，B3→B4，C3→B3兩種情況最後均得到，之後將9、10依次逆時針轉入A4、A3，完成。3、將11、12移動至B4、B3注意到移動9、10過程中只用到了A3：C4六格區域。所以保持9、10不變，利用B3：D4六格區域同理可以完成11、12的移動。第三階段：復原在第二階段基礎上，移動C3：D4四格數字，依次移動9-12與13-15，很容易復原（12→C3，11→B3，13→B4，14→C4，15→D4，如此依次）。
4/6
然後，以上為四階數字推盤通法，同理可推廣至n 階推盤。數字推盤這種解法主要利用的是四格（3數字+1空格）、六格（5數字+1空格）的小區域旋轉迴圈。注意到迴圈的最小區域為2*2四格，所以邊角地區，如3和4需兩列一起解決。最後兩行透過將較小數字如9、10並列放置在最左側一列，為之後復原提供空間。n階最後兩行即需要依次把較小數字並列放在最左側，騰出右側空間。以上方法為考慮各種情況，適用n階的最常規解法，略顯繁瑣。按照此法普通人一分鐘內可以完成4階復原。練熟後有些步驟可以省去。玩了兩小時發現的個人解法，可能有更優解。好多評論問到了無解的情況，補充一下相關討論。
5/6
然後，復原最後一步13 14 15時會遇到兩種情況，不妨設空位為數字0（所設數字並不影響最終結論）：把推盤變為一階排列Ⅰ:（1 2 3 … 12 13 14 15 0）與Ⅱ:（1 2 3 … 12 13 15 14 0）這時每次移動可看作數字0與其它某一數字x的對換（設0所在序數為n，事實上是0與n±1、n±4位置上元素的對換）Ⅰ為正常情況，現考慮如何復原Ⅱ：復原排列Ⅱ等價於對排列Ⅱ進行對換（14，15），問題轉化為對換（14，15）能否寫成若干個（0，x）對換的乘積。由於一次對換（14，15）改變原排列奇偶性，所以（0，x）對換個數必為奇數。而要將D4處數字0最終移回D4，移動次數必為偶數（上移次數等於下移次數，左移次數等於右移次數），所以排列Ⅱ無法還原為（1 2 3 … 12 13 14 15 0）。也就是說，在保證其它數字位置不變的情況下，無法實現兩個數字的位置互換。@高世奇 的回答裡有更普遍的證明。
6/6
最後，由於數字1-13的復原只利用6或4小區域迴圈移動，只涉及位置調整，與其它位置的數字無關，所以無論原始推盤如何排列，最終都可變換為Ⅰ、Ⅱ兩種情況。設1-15全排列為A：A=B∪C，B中排列復原後為情況Ⅰ，C為情況Ⅱ。∀排列b∈B，作用對換（14，15），得排列c∈C，集合C同理。所以可以構造集合B到C的一一對映，即card(B)=card(C)。因此在數字推盤所有隨機排列中，有1/2的排列無解。