著名的集合悖論：

羅素悖論

把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，於是有：

P={A∣A∈A}

Q={A∣A￠A}（￠：不屬於的符號，因為實在找不到）

問，Q∈P還是Q∈Q？

這就是著名的“羅素悖論”。羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理髮師悖論等。

由著名數學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的悖論與之相似：

在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

理髮師悖論與羅素悖論是等價的：

因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的物件。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

羅素悖論的解決我覺得很沒意思，就是修改“集合”一詞的定義，說要滿足一些什麼條件的才可以叫做集合，這樣就把悖論中的集合排除在集合之外了，說它根本不能稱為“集合”，從而不予考慮。我覺得這是一種逃避的手法而已。