首先吧，無限這個詞放在這裡不太合適。因為對於任意數字x > 0：

1是有理數啊。但這個結論顯然不是題主想問的。

我覺得題主真正想問的是：是否存在一個有理數x，使得對x連續開根號任意次後仍然是有理數。換成數學描述就是：

是否 ，使得 有

我們先證明一個引理1：對於任意有理數 存在 ，使得 時， 為無理數。

首先我們把x表示為即約分數：

然後再根據算術基本定理，展開p,q有：

其中， 為互不相同的素數，

由於 時，分子 ，因此在分子的因子分解中存在至少一個素因子 ，以及 。

另 取 有：

假設 為有理數，則可以把 表示為即約分數形式。

其中a,b為大於0的整數。

則

由於 的即約分數性質得知，a和b中不能同時含有 因子。

假設a含有k個 素因子，b不含有 素因子，根據算術基本定理可知： ，因此 。

由於 因此k無整數解。

假設b含有k個 素因子，a不含有 素因子，根據算數基本定理可知： ，此時k無正整數解。

假設a,b都不含有 素因子，此時 和前面假設衝突。

由上所述，對於任意有理數 存在 ，使得 時， 為無理數。

然後我們再證明一個引理2，任意無理數開方仍然是無理數。

假設存在無理數x，使得 為有理數。

根據有理數對乘法的封閉性可知 為有理數，和假設衝突。

因此任意無理數開方仍然是無理數。

OK，我們回到原命題“是否 ，使得 有 ”

當 併為有理數時，根據引理1可知，此時必定存在一個N，使得 時，

當 併為有理數時，根據引理1可知，此時必定存在一個N，使得 時， ，由於對於任意 和 的有理性相同，因此必定存在一個N，使得 時，

當x為無理數時，根據引理2可知，x的任意次開方為無理數。

因此不存在有理數x，使得對x連續開根號任意次後仍然是有理數。