光的波動方程本節揭示如何從顯性的物理圖景得出抽象的方程。假設有一個光的平面波，沿+z方向傳播，正如我們研究平面電磁波中假設的那樣。本質上光波也屬於電磁波。在此，光波的極化概念由偏振替代，我們假設光波的偏振方向為y方向，振幅為A，角頻率為ω，速度為c，初始相位為φ，那麼可以如下描述光波的振動：y(z,t)=Acos [ω(t-z/c)+φ](*)這個描述是顯性的，它直接來自上面假設的諸物理圖景。t-z/c表示一個時間差，比較的基準是選取初始相位的那個位置和時刻。由於c=λf=λ/2π•2πf=ω/k，所以上式可以繼續變形：ω(t-z/c)=ωt-kz=kωt/k-kz=kct-kz考慮到一般情況，在任意方向r，上式中的kz就變為k•r，其中k為傳波向量，k=kz。於是：ω(t-z/c)=kct-k•r把上式改寫為兩個四維向量k4和r4的點積，並可採用張量的記法：ω(t-z/c)=[kk][ct-r]T=k4•r4=kiri於是，(*)可改寫為：y(z,t)=Acos [kiri+φ]現在引入“復振幅”的概念，也正如電磁場理論中的概念一樣。於是：y(z,t)=ℜ(Aejφexp (jkiri))令：Ψ=Aexp (jkiri)可以證明Ψ滿足波動方程：∂2Ψ/∂ri∂ri=□Ψ=0其中，□為達朗貝爾運算元，也記做∇42。
光的波動方程本節揭示如何從顯性的物理圖景得出抽象的方程。假設有一個光的平面波，沿+z方向傳播，正如我們研究平面電磁波中假設的那樣。本質上光波也屬於電磁波。在此，光波的極化概念由偏振替代，我們假設光波的偏振方向為y方向，振幅為A，角頻率為ω，速度為c，初始相位為φ，那麼可以如下描述光波的振動：y(z,t)=Acos [ω(t-z/c)+φ](*)這個描述是顯性的，它直接來自上面假設的諸物理圖景。t-z/c表示一個時間差，比較的基準是選取初始相位的那個位置和時刻。由於c=λf=λ/2π•2πf=ω/k，所以上式可以繼續變形：ω(t-z/c)=ωt-kz=kωt/k-kz=kct-kz考慮到一般情況，在任意方向r，上式中的kz就變為k•r，其中k為傳波向量，k=kz。於是：ω(t-z/c)=kct-k•r把上式改寫為兩個四維向量k4和r4的點積，並可採用張量的記法：ω(t-z/c)=[kk][ct-r]T=k4•r4=kiri於是，(*)可改寫為：y(z,t)=Acos [kiri+φ]現在引入“復振幅”的概念，也正如電磁場理論中的概念一樣。於是：y(z,t)=ℜ(Aejφexp (jkiri))令：Ψ=Aexp (jkiri)可以證明Ψ滿足波動方程：∂2Ψ/∂ri∂ri=□Ψ=0其中，□為達朗貝爾運算元，也記做∇42。