設總體為X,抽取n個i.i.d.的樣本X1,X2,...,Xn,其樣本均值為

Y = (X1+X2+...+Xn)/n

其樣本方差為

S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ...+ (Y-Xn)^2 ) / (n-1)

為了記號方便,我們只看S的分子部分,設為A

則 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))

=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )

注意 EX1 = EX2 = ...= EXn = EY = EX;

VarX1 = VarX2 = ...= VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2

VarY = VarX / n (這條不是明顯的,但是可以展開後很容易地證出來,而且也算是一個常識性的結論）

所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)

= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)

= (n-1) VarX

所以 E S = VarX;得證.