形式定義：設R是集合A上的一個二元關係，若R滿足：Ⅰ 自反性：對任意x∈A，有xRx；Ⅱ 反對稱性（即反對稱關係）：對任意x,y∈A，若xRy，且yRx，則x=y；Ⅲ 傳遞性：對任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，則xRz。則稱R為A上的偏序關係，通常記作≼。注意這裡的≼不必是指一般意義上的“小於或等於”。若然有x≼y，我們也說x排在y前面（x precedes y）。舉例解釋:對於上述提到的自反性和傳遞性的舉例解釋:集合A={a,b,c...}上的關係R是自反 指的是R有(a,a),(b,b),(c,c)...R是傳遞，指若有(a,b)和(b,c), 則必有(a,c).偏序（Partial Order）的概念：設A是一個非空集，P是A上的一個關係，若P滿足下列條件：Ⅰ 對任意的a∈A，（a,a）∈P;(自反性 reflexlve）Ⅱ 若（a,b）∈P，且（b,a）∈P，則 a=b;（反對稱性，anti-symmentric）Ⅲ 若（a,b）∈P，（b,c）∈P，則（a,c）∈P;（傳遞性，transitive）則稱P是A上的一個偏序關係。若P是A上的一個偏序關係，我們用a≤b來表示（a,b）∈P。整除關係便是一個定義在自然數上的一個偏序關係|，3|6的含義是3整除6。大於或等於也是定義在自然數集上的一個偏序關係。設集合X上有一全序關係，如果我們把這種關係用 ≤ 表述，則下列陳述對於 X 中的所有 a, b 和 c 成立：如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)配對了在其上相關的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、線序集合（linearly ordered set）、簡單序集合（simply ordered set）或鏈（chain）。鏈還常用來描述某個偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。關係的完全性可以如下這樣描述：對於集合中的任何一對元素，在這個關係下都是相互可比較的。注意完全性條件蘊涵了自反性，也就是說，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反對稱的和傳遞的二元關係）。全序也可以定義為“全部”的偏序，就是滿足“完全性”條件的偏序。可作為選擇的，可以定義全序集合為特殊種類的格，它對於集合中的所有 a, b 有如下性質：我們規定 a ≤ b 當且僅當。可以證明全序集合是分配格。全序集合形成了偏序集合的範疇的全子範疇，透過是關於這些次序的對映的態射，比如，對映 f 使得"如果 a ≤ b 則 f(a) ≤ f(b)"。在兩個全序集合間的關於兩個次序的雙射是在這個範疇內的同構。嚴格全序對於每個(非嚴格)全序 ≤ 都有一個相關聯的非對稱(因此反自反)的叫做嚴格全序的關係 是 ≤ 的補關係的逆關係)性質：關係是傳遞的： a ，它們構成了四元組 {, ≤, ≥}。我們可以透過這四個關係中的任何一個，定義或解釋集合全序的方式；由符號易知所談論的是非嚴格的，抑或是嚴格全序。例子字母表的字母按標準字典次序排序，比如 A )關係排序都是（嚴格）全序的。它們都可以被證明是帶有特定性質的全序集合的唯一的（在同構意義下的）最小例項（一個全序 A 被稱為是帶有特定性質的最小全序，即意味著只要別的全序 B 有這個性質，就有從 A 到 B 的子集的一個序同構)：自然數集是最小的沒有上界的全序集合。整數集是最小的沒有上界也沒有下界的全序集合。有理數集是最小的在實數集內稠密的全序集合，這裡的稠密性是指對於任意實數a, b，都存在有理數q使得a
形式定義：設R是集合A上的一個二元關係，若R滿足：Ⅰ 自反性：對任意x∈A，有xRx；Ⅱ 反對稱性（即反對稱關係）：對任意x,y∈A，若xRy，且yRx，則x=y；Ⅲ 傳遞性：對任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，則xRz。則稱R為A上的偏序關係，通常記作≼。注意這裡的≼不必是指一般意義上的“小於或等於”。若然有x≼y，我們也說x排在y前面（x precedes y）。舉例解釋:對於上述提到的自反性和傳遞性的舉例解釋:集合A={a,b,c...}上的關係R是自反 指的是R有(a,a),(b,b),(c,c)...R是傳遞，指若有(a,b)和(b,c), 則必有(a,c).偏序（Partial Order）的概念：設A是一個非空集，P是A上的一個關係，若P滿足下列條件：Ⅰ 對任意的a∈A，（a,a）∈P;(自反性 reflexlve）Ⅱ 若（a,b）∈P，且（b,a）∈P，則 a=b;（反對稱性，anti-symmentric）Ⅲ 若（a,b）∈P，（b,c）∈P，則（a,c）∈P;（傳遞性，transitive）則稱P是A上的一個偏序關係。若P是A上的一個偏序關係，我們用a≤b來表示（a,b）∈P。整除關係便是一個定義在自然數上的一個偏序關係|，3|6的含義是3整除6。大於或等於也是定義在自然數集上的一個偏序關係。設集合X上有一全序關係，如果我們把這種關係用 ≤ 表述，則下列陳述對於 X 中的所有 a, b 和 c 成立：如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)配對了在其上相關的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、線序集合（linearly ordered set）、簡單序集合（simply ordered set）或鏈（chain）。鏈還常用來描述某個偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。關係的完全性可以如下這樣描述：對於集合中的任何一對元素，在這個關係下都是相互可比較的。注意完全性條件蘊涵了自反性，也就是說，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反對稱的和傳遞的二元關係）。全序也可以定義為“全部”的偏序，就是滿足“完全性”條件的偏序。可作為選擇的，可以定義全序集合為特殊種類的格，它對於集合中的所有 a, b 有如下性質：我們規定 a ≤ b 當且僅當。可以證明全序集合是分配格。全序集合形成了偏序集合的範疇的全子範疇，透過是關於這些次序的對映的態射，比如，對映 f 使得"如果 a ≤ b 則 f(a) ≤ f(b)"。在兩個全序集合間的關於兩個次序的雙射是在這個範疇內的同構。嚴格全序對於每個(非嚴格)全序 ≤ 都有一個相關聯的非對稱(因此反自反)的叫做嚴格全序的關係 是 ≤ 的補關係的逆關係)性質：關係是傳遞的： a ，它們構成了四元組 {, ≤, ≥}。我們可以透過這四個關係中的任何一個，定義或解釋集合全序的方式；由符號易知所談論的是非嚴格的，抑或是嚴格全序。例子字母表的字母按標準字典次序排序，比如 A )關係排序都是（嚴格）全序的。它們都可以被證明是帶有特定性質的全序集合的唯一的（在同構意義下的）最小例項（一個全序 A 被稱為是帶有特定性質的最小全序，即意味著只要別的全序 B 有這個性質，就有從 A 到 B 的子集的一個序同構)：自然數集是最小的沒有上界的全序集合。整數集是最小的沒有上界也沒有下界的全序集合。有理數集是最小的在實數集內稠密的全序集合，這裡的稠密性是指對於任意實數a, b，都存在有理數q使得a