已知定理：在一個圓內，有條直線，個“交點”，則圓被分為塊。（此定理對平面同樣成立）定義一下“如何計算交點的數量”，即：兩線相交一點為，三線相交一點為，線相交一點為，只要碰到圓的都不算。證明：假設圓內已經有很多條線，或者沒有，現在加上一條線。從圓某一點開始延長一條線的過程中，每碰到一條線，就產生一個交點，就把原來的區域分成了兩塊，相當於增加了一塊，一直延長到碰到圓本身時，也會增加一塊，這一塊算入直線的數量。所以總塊數是1（初始塊數）加上總交點數量和總直線數量（後面一條線一條線增加的塊數）=，嚴格點需要使用數學歸納法。那麼如何利用以上定理和證明計算這題呢？最直白的想法是分別計算圓內的塊數和圓外的塊數。圓內塊數計算簡單，圓外塊數本質上可以把那個圓當成那碰到圓的條直線相交形成的“交點”，它貢獻的數量為,按照這條思路你可以輕鬆計算下去，得到的答案一樣是正確的。本來我是想詳細寫證明的，但是後來發現有更簡單的演算法。先假設圖上沒有圓，那麼一共有塊（條直線，個“交點”）。以下的交點數量指的是那條直線構造的整個圖形和圓的交點數量，換句話說，如果有至少一個交點，那麼交點數量等價於被劃分的圓弧數量。1.沒有交點增加塊數此時有塊.2.有個交點,,那麼圓被分成段圓弧。透過一段段畫上圓弧，每段圓弧會把原來所處的那塊部分分成兩份，從而增加一塊數量。總共增加塊。此時共有塊。那麼最多時自然是當和最大時，即1.條直線兩兩相交共個交點，任意兩個交點不能重合。2.圓與每條直線有兩個交點，共個，任意兩個交點不能重合。可以推到圓與直線的交點不能與直線之間的交點重合。一個保證這兩點的簡單方式就是畫一個足夠大的圓包括所有的直線之間的交點，如下圖。當然有交點不在圓內也是可以的，如下圖。甚至所有交點都不在圓內也是可以的，如下圖。都滿足上述兩點要求。此時共有塊。擴充套件一下：上述證明沒有用到圓的任何特性，所以此結論（指）和證明過程對於把圓換成任何連續簡單封閉圖形（“簡單”指不與自己相交）都是成立的，比如四邊形，橢圓等等。當然證明本身可以輕易推廣到非簡單圖形，如形（此時指的圖形被分的弧的數量，並且自身與自身的交點也要被計算來分段）。再推廣到有多個連續封閉圖形和條直線的塊數。差不多夠了。在邊長為1的正方形中隨機取三個點，構成三角形的面積期望是多少？ - Lancewu 的回答在圓內能否用四條直線割成九塊面積相等的部分？ - Lancewu 的回答圓內能否用四條曲線割成九塊面積相等的部分？ - Lancewu 的回答