首先，把函式在某點連續仍定義為函式在該點的極限等於函式值。
有理數判斷函式：當x是有理數時，q(x)=1；當x是無理數時，q(x)等於0。
按不嚴謹的極限定義，q(x)在每一點都能無限趨於自身的函式值，所以是連續函式。然而用嚴謹的極限定義就不是了。
所以問題出在哪了？
我們考查一下上面說的無限趨於是什麼意思。任取一個x0，以q(x0)為中心，任意小範圍內，都存在一個接近x0的x，使得q(x)落在這個範圍內。
所以把“無限趨於”逐步寫成嚴謹的數學形式有：
任意小ε0，存在任意小δ0，使得當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處無限趨於a。
任意小是有多小？顯然任意小是應該小於任何正數。繼續改寫：
任意ε，存在ε0＜ε，任意δ，存在δ0＜δ，使得當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處無限趨於a。
顯然，“存在ε0”這句話很多餘（因為如果有|f(x)-a|＜ε，則一定存在|f(x)-a|＜ε0＜ε），改寫為：
任意ε，任意δ，存在δ0＜δ，使得當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處無限趨於a。
（以下的“無限趨於”若無特殊說明均照上述定義理解）
對照極限定義（為方便對照，令|x-x0|=δ0）：
任意ε，存在δ，使得任意δ0＜δ，當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處有極限a。
看出來了嗎？任意和存在有一步是反過來的。
以上是我對“無限趨近”這個詞的理解，如果讓我去定義，極限定義就不是現在這個樣子了。按這個定義，q(x)會是個連續函式。
你以為這就完了嗎？還沒有，再舉幾個例子讓你看看這個定義有多瘋狂：
sin(1/x)在x=0處無限趨近於0。（畫個影象看看有多瘋狂）
tan(1/x)在x=0處無限趨近於任意數。（畫畫）
數學系大佬應該很容易構造出一個在任意點無限趨於任意數的函式吧。
看出有多瘋狂了嗎？
而且極限具有唯一性：極限要麼沒有，要麼唯一。但是我這麼定義的無限趨近並不唯一。
看到沒有？對極限定義進行一個小小的改動，世界就變得瘋狂了許多。柯西大佬nb！
大家回去也可以自己試試，對極限定義做小小的改動，看看會出現什麼。增進自己對極限的理解（和對柯西的崇拜……）
另外不同人對“無限趨於”這個詞的理解可能不同。以上只是我一人的理解。如果用這個來定義極限，就亂套了。
首先，把函式在某點連續仍定義為函式在該點的極限等於函式值。
有理數判斷函式：當x是有理數時，q(x)=1；當x是無理數時，q(x)等於0。
按不嚴謹的極限定義，q(x)在每一點都能無限趨於自身的函式值，所以是連續函式。然而用嚴謹的極限定義就不是了。
所以問題出在哪了？
我們考查一下上面說的無限趨於是什麼意思。任取一個x0，以q(x0)為中心，任意小範圍內，都存在一個接近x0的x，使得q(x)落在這個範圍內。
所以把“無限趨於”逐步寫成嚴謹的數學形式有：
任意小ε0，存在任意小δ0，使得當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處無限趨於a。
任意小是有多小？顯然任意小是應該小於任何正數。繼續改寫：
任意ε，存在ε0＜ε，任意δ，存在δ0＜δ，使得當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處無限趨於a。
顯然，“存在ε0”這句話很多餘（因為如果有|f(x)-a|＜ε，則一定存在|f(x)-a|＜ε0＜ε），改寫為：
任意ε，任意δ，存在δ0＜δ，使得當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處無限趨於a。
（以下的“無限趨於”若無特殊說明均照上述定義理解）
對照極限定義（為方便對照，令|x-x0|=δ0）：
任意ε，存在δ，使得任意δ0＜δ，當|x-x0|=δ0時，有|f(x)-a|＜ε0，則稱f(x)在x0處有極限a。
看出來了嗎？任意和存在有一步是反過來的。
以上是我對“無限趨近”這個詞的理解，如果讓我去定義，極限定義就不是現在這個樣子了。按這個定義，q(x)會是個連續函式。
你以為這就完了嗎？還沒有，再舉幾個例子讓你看看這個定義有多瘋狂：
sin(1/x)在x=0處無限趨近於0。（畫個影象看看有多瘋狂）
tan(1/x)在x=0處無限趨近於任意數。（畫畫）
數學系大佬應該很容易構造出一個在任意點無限趨於任意數的函式吧。
看出有多瘋狂了嗎？
而且極限具有唯一性：極限要麼沒有，要麼唯一。但是我這麼定義的無限趨近並不唯一。
看到沒有？對極限定義進行一個小小的改動，世界就變得瘋狂了許多。柯西大佬nb！
大家回去也可以自己試試，對極限定義做小小的改動，看看會出現什麼。增進自己對極限的理解（和對柯西的崇拜……）
另外不同人對“無限趨於”這個詞的理解可能不同。以上只是我一人的理解。如果用這個來定義極限，就亂套了。