對P的行用圓盤定理,

可以得到P的所有特徵值的模<=1,

然而P*1

=

1(1是全1的列向量),

於是P有特徵值1,

是為最大模特徵值.

另由平穩分佈的定義w

=

wP可知w正是P的對應於特徵值1的(左)特徵向量.

可證任何滿足w

=

wP的w的各分量一定是同號的,

因為若w

=

wP,

則|w|

=

|w|P因為P>=0,

若w中有分量不同號,

於是至少有一個分量是正的,

對於這個分量w_j

=

|w_j|

=

\sum_i

|w_i|

P_{ij},

然而又有w_j

=

\sum_i

w_i

P_{ij},

因為P>=0,

於是逼得所有w分量都>=0.

下面是唯一性:

若有w1

=

w1*P,

及w2

=

w2*P.

如果w1和w2不共線,

必存在w3

=

a*w1

+

b*w2使得w3分量不同號,

而另一方面又有

w3

=

w3

*

P,

矛盾.

於是存在唯一w

=

wP且|w|_1

=

1,

即平穩分佈.