對稱陣不同的特徵值對應的特徵向量是相互正交的。

命題應該是實對稱矩陣不同的特徵值對應的特徵向量是相互正交的.證明如下：

設λ1,λ2是兩個A的不同特徵值,α1,α2分別是其對應的特徵向量,有

A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2

分別取轉置,並分別兩邊右乘α2和α1,得

α1" * A" * α2 =λ2 * α1" * α2,α2" * A" * α1 =λ1 * α2" * α1

對應相減並注意到α2" * A" * α1=（α2" * A" * α1)"= α1" * A" * α2

所以 (λ1 - λ2) α1" * α2 = α1" * A" * α2 - α2" * A" * α1 = α1" * A" * α2 - α1" * A" * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1" * α2 = 0

即 α1與α2 正交.

擴充套件資料：

求特徵值

設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式Ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式| A-λE|=0。

設A是數域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量，

係數行列式|A-λE|稱為A的特徵多項式，記¦(λ)=|λE-A|，是一個P上的關於λ的n次多項式，E是單位矩陣。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一個n次代數方程，稱為A的特徵方程。特徵方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)稱為A的特徵根(或特徵值)。n次代數方程在複數域內有且僅有n個根，而在實數域內不一定有根，因此特徵根的多少和有無，不僅與A有關，與數域P也有關。