定理敘述：數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|
將柯西收斂原理推廣到函式極限中則有：函式f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有Z屬於實數，當x,y>Z時，有|f(x)-f(y)|
此外柯西收斂原理還可推廣到廣義積分是否收斂，數項級數是否收斂的判別中，有較大的適用範圍。
證明舉例：
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證：
對於任意的m,n屬於正整數，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限
定理敘述：數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|
將柯西收斂原理推廣到函式極限中則有：函式f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有Z屬於實數，當x,y>Z時，有|f(x)-f(y)|
此外柯西收斂原理還可推廣到廣義積分是否收斂，數項級數是否收斂的判別中，有較大的適用範圍。
證明舉例：
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證：
對於任意的m,n屬於正整數，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限