這個利用行列式的定義來證明。行列式的定義是所有不同行不同列元素的乘積乘上-1的它們的行（列）的逆序數次方的乘積的加和（如果是按行的順序取就看列的逆序數，如果是按列的順序取就按行的逆序數）。因此交換行列式的兩行（列）改變符號本質上是由於逆序數的奇偶性的改變造成的。因此我們需要證明的是： 在一列數中，任意交換兩個數字的位置，則這列數的逆序數的奇偶性改變。 用更數學的語言來描述：有一列互不相等的數a1, a2, a3, ..., an按任意順序排列，現交換其中第i個和第j個數的位置，證明這列數的逆序數的奇偶性改變。 我們首先證明，交換相鄰兩個數字的位置，逆序數會+1或者-1。這個比較容易證明，不失一般性，假設交換第i個數字和第i+1個數字的位置，那麼這列數字中，除去這兩個數字的位置的數字相對於這兩個數字的逆序都沒有發生變化，但這兩個數字的逆序發生了一次改變(若ai>ai+1則逆序-1，若ai<ai+1則逆序+1)，因此該列數字的逆序+1或-1，或者說奇偶性變化一次。 下面證明原命題。 不失一般性可設i<j。交換第i個數字和第j個數字的位置，我們分成兩個階段，第一個階段先將ai依次與它前面的數字交換位置直到ai到達第j-1個位置，這個過程一共發生了(j-1-i)次交換，因此奇偶性改變(j-i-1)次，第二個階段再將aj依次與它前面的數字交換位置直到它到達第i個位置，這個過程一共進行了(j-i)次交換，因此奇偶性改變(j-i)次，總計奇偶性改變了2(j-i)-1次，這是一個奇數，因此逆序數奇偶性改變，符號改變。