鄰域公理

給定集合X，對映U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的冪集的冪集），U將X中的點x對映到X的子集族U(x)），稱U(x)是X的鄰域系以及U(x)中的元素（即X的子集）為點x的鄰域，當且僅當U滿足以下的鄰域公理：

U1：若集合A∈U(x)，則x∈A。

U2：若集合A，B∈U(x)，則A∩B∈U(x)。

U3：若集合A∈U(x)，且A ?B ?X，則B∈U(x)。

U4：若集合A∈U(x)，則存在集合B∈U(x)，使B ?A，且y∈B，B∈U(y)。

對鄰域公理的解釋：鄰域公理是現代數學拓撲結構的基礎概念，是定義拓撲的五套等價公理之一。這套公理直接定義了空間上的整套領域系，而非簡單定義某個點的鄰域。對映U即是將x對映至x鄰域組成的集合。

U1的解釋：若A是x的鄰域，則x屬於A。這是顯然的。

U2的解釋：若A和B都是x的鄰域，則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域對於有限交運算封閉。

U3的解釋：若A是x的鄰域，則所有包含A的集合都是x的鄰域。

U4的解釋：若A是x的鄰域，則存在一個被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有點的鄰域。換言之，若x有一個鄰域，那麼一定可以將其縮小，縮小到它是其中所有點的鄰域。更關鍵的，這樣的鄰域當且僅當它是X中的開集，這也是鄰域公理為何等價於開集公理，從而可以透過它定義X上拓撲的原因。

開鄰域和閉鄰域

若x的鄰域同時是X中的開集，稱其為x的開鄰域；若它同時是X中的閉集則稱其為x的閉鄰域。

重要結論

拓撲空間X，X的子集A是開集，當且僅當A是其中所有點的鄰域。（顯然由此可知，從鄰域公理出發可以等價地定義拓撲空間）。

拓撲空間X，X的子集A和A°，A°是A的開核，當且僅當A° = {x | U∈U(x)，U咥}。

拓撲空間X，X的子集A和A’，A‘是A的閉包，當且僅當A’ = {x | U∈U(x)，U∩A ≠ }。