這個定理的推導比較複雜，牽扯到積分上限函式：Φ(x)=∫f(t)dt（上限為自變數x，下限為常數a）。以下用∫f(x)dx<a,b>表示從a到b的定積分。

首先需要證明，若函式f(x)在[a,b]內可積分，則Φ(x)在此區間內為一連續函式。

證明：給x一任意增量Δx，當x+Δx在區間[a,b]內時，可以得到

Φ(x+Δx)=∫f(t)dt<a,x+Δx>=∫f(t)dt<a,x>+∫f(t)dt<x,x+Δx>

=Φ(x)+∫f(t)dt<x,x+Δx>

即

Φ(x+Δx)-Φ(x)=∫f(t)dt<x,x+Δx>

應用積分中值定理，可以得到

Φ(x+Δx)-Φ(x)=μΔx

其中m<=μ<=M，m、M分別為f(x)在[x,Δx]上的最小值和最大值，則當Δx->0時，Φ(x+Δx)-Φ(x)->0，即

limΦ(x+Δx)-Φ(x)=0（當Δx->0）

因此Φ(x)為連續函式

其次要證明：如果函式f(t)在t=x處連續，則Φ(x)在此點有導數，為

Φ"(x)=f(x)

證明：由以上結論可以得到，對於任意的ε>0，總存在一個δ>0，使|Δx|<δ時，對於一切的t屬於[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恆成立（根據函式連續的ε-δ定義得到），得

f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε

由於t屬於[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意義同上），由於f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε當t屬於[x,x+Δx]時恆成立，因此得到

f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε

由於m<=μ<=M（μ的意義同上），可以得到

f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε

即|μ-f(x)|<=ε

由於Φ(x+Δx)-Φ(x)=μΔx，可以得到，當Δx->0時，

Φ"(x)=lim[Φ(x+Δx)-Φ(x)]/Δx=limμ=f(x)

命題得證。

由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一個原函式。設F(x)為f(x)的任意一個原函式，得到

Φ(x)=F(x)+C

當x=a時，Φ(a)=0（由定義可以得到），此時

Φ(a)=0=F(a)+C

即C=-F(a)

得到

Φ(x)=F(x)-F(a)

則當x=b時，Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>，得到

Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>=F(b)-F(a)

至此命題得證。

參考資料：數學分析原裡