N＞1，n＞1，N^n±1在文中被稱為冪鄰數，或稱密林數。以下簡略的內容，發來看一下。僅供參考。
尤拉定理表明，兩個正整數M、N互質，M能整除N^φ(M)-1，其中φ（M）是尤拉函式。當M是素數時，φ(M)=M-1，M能整除N^(M-1)-1，也就是費馬小定理。任何正整數，都是一些冪鄰數的因數。一些等比數列的和，也是它的因數。
猜測：N＞1，n＞1，x＞0，y＞0，且都是整數。以下四個命題，總體上只有3^2-1和2^3+1兩個反例。
（1）n是奇數，N^n+1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^n+1。
（2）n是奇數，N^n-1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^n-1。
（3）n是偶數，N^n+1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^n+1。
（4）n是偶數，N^n-1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^（n/2）±1。
以上四個命題中的素數，稱為這個冪鄰數的密林素數。命題（4）可由（1）（2）（3）推導而來，加減號會看情況而定。
如果猜測成立，冪鄰數的素因數可分為3類。①m是n的真因數，N^m±1整除N^n±1。N^m+1或N^m-1裡面的素因數，有時外面也有同樣的素因數。②密林素數，兩個條件不一定互為因果。不止一個素數的話，相乘成為以N為底的偽素數。③N是奇數，n是偶數，N^n+1中的素數2。
冪鄰數的密林素數，個數有1個，也有多個，數量沒有上限。密林素數，有是最大素因數的，也有是最小素因數的。冪鄰數的多個密林素數，有完全不同的，有完全相同的，也有混合的。
素因子都是密林素數的冪鄰數，必須滿足這樣的形式：2^p-1，p是素數；a^q+1，a是正偶數，q=2^t（t＞0）。
這個猜測，大部分都是可以證明的。當指數是虧數和完全數時，存在密林素數。盈數是不是完全符合，應該是個困難的問題。1998年Marc Deléglise 證明了，盈數在自然數中的自然密度介於0.2474和0.2480之間。
N＞1，n＞1，N^n在本文稱作完全方冪。在完全方冪附近的整數，有一些含有類似的素因子，但密林素數或許是惟一可信的。還有一個較弱的猜想：N＞1，n＞1，N^n+1和N^n-1，至少有一個含密林素數。筆者保留修改和撤銷帖子的權利。
N＞1，n＞1，N^n±1在文中被稱為冪鄰數，或稱密林數。以下簡略的內容，發來看一下。僅供參考。
尤拉定理表明，兩個正整數M、N互質，M能整除N^φ(M)-1，其中φ（M）是尤拉函式。當M是素數時，φ(M)=M-1，M能整除N^(M-1)-1，也就是費馬小定理。任何正整數，都是一些冪鄰數的因數。一些等比數列的和，也是它的因數。
猜測：N＞1，n＞1，x＞0，y＞0，且都是整數。以下四個命題，總體上只有3^2-1和2^3+1兩個反例。
（1）n是奇數，N^n+1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^n+1。
（2）n是奇數，N^n-1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^n-1。
（3）n是偶數，N^n+1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^n+1。
（4）n是偶數，N^n-1有一個因子是：素數nx+1，以及N^y±1能被nx+1整除的最小解是N^（n/2）±1。
以上四個命題中的素數，稱為這個冪鄰數的密林素數。命題（4）可由（1）（2）（3）推導而來，加減號會看情況而定。
如果猜測成立，冪鄰數的素因數可分為3類。①m是n的真因數，N^m±1整除N^n±1。N^m+1或N^m-1裡面的素因數，有時外面也有同樣的素因數。②密林素數，兩個條件不一定互為因果。不止一個素數的話，相乘成為以N為底的偽素數。③N是奇數，n是偶數，N^n+1中的素數2。
冪鄰數的密林素數，個數有1個，也有多個，數量沒有上限。密林素數，有是最大素因數的，也有是最小素因數的。冪鄰數的多個密林素數，有完全不同的，有完全相同的，也有混合的。
素因子都是密林素數的冪鄰數，必須滿足這樣的形式：2^p-1，p是素數；a^q+1，a是正偶數，q=2^t（t＞0）。
這個猜測，大部分都是可以證明的。當指數是虧數和完全數時，存在密林素數。盈數是不是完全符合，應該是個困難的問題。1998年Marc Deléglise 證明了，盈數在自然數中的自然密度介於0.2474和0.2480之間。
N＞1，n＞1，N^n在本文稱作完全方冪。在完全方冪附近的整數，有一些含有類似的素因子，但密林素數或許是惟一可信的。還有一個較弱的猜想：N＞1，n＞1，N^n+1和N^n-1，至少有一個含密林素數。筆者保留修改和撤銷帖子的權利。