偶階幻方的解法

偶階幻方

一個n階幻方，當n為偶數時，稱此幻方為偶階幻方。

當n能被4整除時，我們稱該偶階幻方為雙偶幻方，如8階、12階、16階等；

當n不能被4整除時，我們稱該偶階幻方為單偶幻方，如6階、10階、14階等。

單偶幻方的填法

方法一：Strachey法。

第一步，將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方。將其等分為四個2m+1階奇數幻方A、B、C、D。A用1至(2m+1)^2填寫成2m+1階幻方【注：(2m+1)^2是(2m+1)的平方，以下同】；B用(2m+1)^2+1至2*(2m+1)^2填寫成2m+1階幻方；C用2*(2m+1)^2+1至3*(2m+1)^2填寫成2m+1階幻方；D用3*(2m+1)^2+1至4*(2m+1)^2填寫成2m+1階幻方。

以6階幻方為例，將6階單偶幻方表示為4×1+2階幻方（m=1）。將其等分為四個2×1+1階奇數幻方，四個即3階奇數幻方。就是用1-9、10-18、19-27、28-36分別用相同的填數規律完成四個3階幻方A、B、C、D，並如下面左圖一樣的順序排列。這樣方陣每一列的和值等於幻和值。

第二步，在A每行取m個小格（中心格及一側對角線格為必換格，其餘m-1格只要不是另一側對角線格即可），簡單地說，就是說在A中間一行取包括中心格在內的m個小格，其他行左側（或右側）邊緣取m個小格，將其與D相應方格內交換；B與C在任取m-1列相互交換（6階幻方m=1，m-1=0，B與C列不用相互交換）。從而使方陣的每一行、兩條對角線的和值都為幻和值，完成單偶幻方。

為什麼要這樣交換，數學公式很麻煩，就以6階幻方為例，每一列的和值相等，下半區與上半區各行和值的差值除以2，即（138-84）/2=27，為D、A對應位置數字之差27，所以A、D各行對應位置交換1個數即可使各行的和值相等。主對角線與副對角線和值的差值除以2，即（165-57）/2=54，為D、A對應位置數字之差27×2，所以A、D各行對應位置交換的3個數字中要2個數是6×6方陣主副對角線上的數，才可使兩條對角線的和值相等。

10階單偶幻方表示為（4×2+2）階幻方，那麼m就是2。A、B、C、D四個就是5階奇數幻方。A用1至25填寫成5階幻方；B用26至50填寫成5階幻方；C用51至75填寫成5階幻方；D用76至100填寫成5階幻方。

在A中間一行取包括中心格在內的2個小格，其他行取一側對角線在內的2個小格（使方陣對角線有3個數字交換），將其與D相應方格內交換；B與C在最右側取1列相互交換，如上圖用Strachey法生成的10階幻方。

方法二：LUX法

使6階幻方整體按3階幻方的填法填，每個2×2的方格以LUX的圖示填。

使10階幻方整體按5階幻方的填法填（跳馬法），每個2×2的方格以LUX的圖示填。