4.1 聯絡

如果在實數域或複數域上距離空間是完備的，該空間被稱為完備距離空間。實數域或複數域上的完備線性賦範空間被稱為巴拿赫空間。內積空間是特殊的線性賦範空間，而完備的內積空間被稱為希爾伯特空間，其上的範數由一個內積匯出。

線上性空間中賦以“範數”，然後在範數的基礎上匯出距離，即線性賦範空間，完備的線性賦範空間稱為巴拿赫空間。範數可以看出長度，線性賦範空間相當於定義了長度的空間，所有的線性賦範空間都是距離空間。

以有限維空間來說，向量的範數相當於向量的模的長度。但是在有限維歐式空間中還有一個很重要的概念—向量的夾角，特別是兩個向量的正交。內積空間是特殊的線性賦範空間，在這類空間中可以引入正交的概念以及投影的概念，從而在內積空間中建立起相應的幾何學。用內積匯出的範數來定義距離，Banach空間就成為了希爾伯特空間。

4.2 區別

在距離空間中透過距離的概念引入了點列的極限，但是隻有距離結構、沒有代數結構的空間，在應用過程中受到限制。線性賦範空間和內積空間就是距離結構與代數結構相結合的產物，較距離空間有很大的優越性。

線性賦範空間就是線上性空間中，給向量賦予範數，即規定了向量的長度，而沒有給出向量的夾角。

在內積空間中，向量不僅有長度，兩個向量之間還有夾角。特別是定義了正交的概念，有無正交性概念是賦範線性空間與內積空間的本質區別。任何內積空間都是線性賦範空間，但線性賦範空間未必是內積空間。

線性賦範空間X成為內積空間的充要條件是：範數‖.‖對於一切屬於X的x，y，滿足

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2 (3-3)

上式(3-3)被稱為平行四邊形公式或中線公式。