重心的性質及證明方法
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 三角形ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。 過E作EH平行BF。 AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF 推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 證明方法： 在▲ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據重心性質知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高h1，h可知h1=1/3h 則，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可證S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 3、重心到三角形3個頂點距離的和最小。 (等邊三角形） 證明方法： 設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離和為： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心座標）時 上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最終得出結論。 4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均， 即其座標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空間直角座標系——橫座標：(X1+X2+X3)/3 縱座標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎座標：（z1+z2+z3）/3 5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
重心的性質及證明方法
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 三角形ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。 過E作EH平行BF。 AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF 推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 證明方法： 在▲ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據重心性質知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高h1，h可知h1=1/3h 則，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可證S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 3、重心到三角形3個頂點距離的和最小。 (等邊三角形） 證明方法： 設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離和為： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心座標）時 上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最終得出結論。 4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均， 即其座標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空間直角座標系——橫座標：(X1+X2+X3)/3 縱座標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎座標：（z1+z2+z3）/3 5、三角形內到三邊距離之積最大的點。