條件：公設5（同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在截線的同側兩個內角之和小於兩倍的直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交）

定義5（當一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角每一個被叫做直角，而且稱這一條直線垂直於另一條直線）

和定義23（平行直線是在同一個平面內向兩端無限延長不能相交的直線）

因為當一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角每一個被叫做直角，而且稱這一條直線垂直於另一條直線

所以一個平角等於兩倍的直角

且兩對截線同側的內角是兩個“一條直線和另一條直線交成鄰角”

所以兩條線平行線被第三條線所截的四個內角角的總和為兩倍的平角

作兩條線平行線被第三條線所截

假設截線的同側的兩個內角之和小於兩倍的直角（即同旁內角之和小於180度），則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交

因為平行直線是在同一個平面內向兩端無限延長不能相交的直線

所以假設錯誤

所以兩對截線同側的內角和均不小於兩直角

假設截線的一側的兩個內角之和大於兩倍的直角

所以另一側小於兩倍的直角，

所以這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交

因為平行直線是在同一個平面內向兩端無限延長不能相交的直線

所以假設不成立

所以兩對截線同側的內角和均不大於兩直角

因為{兩對截線同側的內角和均不小於於兩直角，兩對截線同側的內角和均不大於兩直角}

所以兩對截線同側的內角和均等於兩直角

即同旁內角互補，兩直線平行