拋物線的性質 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P，座標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。 當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時 （即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。 事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的 斜率k的值。可透過對二次函式求導得到。 5.常數項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交於（0，c） 6.拋物線與x軸交點個數 Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 _______ Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上 虛數i，整個式子除以2a） 當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函式，在 {x|x>-b/2a}上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變 當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0) 7.特殊值的形式 ①當x=1時 y=a+b+c ②當x=-1時 y=a-b+c ③當x=2時 y=4a+2b+c ④當x=-2時 y=4a-2b+c 8.定義域：R 值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a， 正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：偶函式 週期性：無 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下； ⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，圖象與x軸交於兩點： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，圖象與x軸交於一點： （-b/2a，0）； Δ＜0，圖象與x軸無交點； ②y=a(x-h)^2+k[頂點式] 此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0） 對稱軸X=(X1+X2)/2 當a>0 且X≥(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≤（X1+X2）/2時Y隨X 的增大而減小 此時，x1、x2即為函式與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連 用）。
拋物線的性質 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P，座標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。 當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時 （即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。 事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的 斜率k的值。可透過對二次函式求導得到。 5.常數項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交於（0，c） 6.拋物線與x軸交點個數 Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 _______ Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上 虛數i，整個式子除以2a） 當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函式，在 {x|x>-b/2a}上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變 當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0) 7.特殊值的形式 ①當x=1時 y=a+b+c ②當x=-1時 y=a-b+c ③當x=2時 y=4a+2b+c ④當x=-2時 y=4a-2b+c 8.定義域：R 值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a， 正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：偶函式 週期性：無 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下； ⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，圖象與x軸交於兩點： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，圖象與x軸交於一點： （-b/2a，0）； Δ＜0，圖象與x軸無交點； ②y=a(x-h)^2+k[頂點式] 此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0） 對稱軸X=(X1+X2)/2 當a>0 且X≥(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≤（X1+X2）/2時Y隨X 的增大而減小 此時，x1、x2即為函式與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連 用）。