我提供一種比較直觀的解法吧。

假定已知四邊形三條邊a,b,c,其中ab，bc 夾角分別為 , , 則面積S為關於,的函式 。易知面積在

時取得極值。

考慮偏導 對應的幾何意義：固定角 ，面積隨另一個角改變的變化率即為偏導。令 所對對角線為p，p,c夾角記為 。由於a，b，p所組成的三角形不變，我們有：

,其中 為灰色三角形的面積。

易知解為 ，且二階偏導小於零，說明 為區域性最大值。解得幾何意義為：當邊c在圖示圓上轉動時，其切線與p平行的時刻，顯然此時為灰色三角形面積最大值。同理可得： 時面積取得最大值。此時四邊形四點共圓。

然後證明一下面積最大值對於abc的對稱輪換不變，即無論哪條邊在中間，其最大值不受影響。

由共圓及直角關係知第四邊d為圓直徑。此時可得圖中角度關係:

由此得到方程：

化簡後得到關於直徑d的三次方程：

注意到關於a，b，c的對稱輪換 不影響直徑d的值

寫出四邊形的面積

則面積S在對稱輪換下不變，面積最大值不取決於已知三邊的排序。

具體求值需要求解三次方程得到d，目前除了計算機暴力求解\套公式外我還沒有發現很好的求解方法。

還是給一下套公式的結果吧，方程是卡爾達諾方程，判別式小於零，唯一實解為：