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1 # 使用者6238025718795
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2 # 使用者6238025718795
好幾位大神證了
f（1）∈（1，2）U（2，5）。
我在早幾天（中學生方法）就推出了
f（1）∈（1，2），
且f（X）是增函式
我用不了幾句也證一下：
若f（1）存在，顯然有
f（1）≠0，1，2，5，
有f（x1）≠f（x2），
f（0）≠0，
f（1）=f（0）^2+1>1。
又ff（X）當x>0時單調遞增，
則f（x）也單調，〈注〉
以上為準備
①設f（x）單調遞增
則ff（1）>f（1）→f（1）<2，
即f（1）∈（1，2）
②設f（x）遞減
因為f（1）>1
則ff（1）<f（1）
→f（1）>2
則f（2）>2
則f（1）>f（2）>2
→f（2）>ff（2）=5
→f（1）>f（2）=5
同上可得f（1）>26……
→f（1）→∞
這也不可能。
綜合①②知，
若f（1）存在，
則f（x）是增函式，
且f（1）∈（1，2）。
〈注〉：f（x）單調很明顯：
若f（x）非單調，
一定存在 0<X1<X3
有f（x1）=f（x3）
則ff（x1）=ff（x3）
這與X1^2+1<x3^2+1矛盾，
所以x>=0時，f（x）單調（且遞增）。
今天看了下，好多作者都認可了
f（1）∈（1，2），
且認為f（1）不唯一，我也有同感，
但找個f（x）的描述也不容易，
如f（1）=3/2，那f（2）可不再有很高的自由度了！
因此找個f（x）表述法有點意思吧！？
試述：
本題從ff（x）=x²+1為切入點，
設f（x）=kx=x^2+1，
k由相應的x來確定，是變化的。
K=（x²+1）/x
如ff（1）=1^2+1=2X
這時（x=1時）
f（x）=√2x→f（1）=√2
x=2時，ff（x）=（5/2）X
f（x）=（√（5/2））X
f（2）=√10，
f（3）=√30
f（m）=√（m（m²+1））……④
f（x）表示式估計很多，
我想找個f（x）=X^t+b，
但不成功，望各位大神發幾個好的表述法
（不一定要表示式）。
我的表示式不適用於x=0，（不定式），
但沒矛盾，X=0時，ff（0）的值確是y軸（斜率∞）與曲線X^2+1的交點，
那f（0）是個不定式也很合理，
0<f（0）<1，也真是有了這個不定式，才出現了f（x）的多值性，
f（0）由f（1）反解，
當f（1）=√2時，
f（0）=√（√2-1）
（這裡只考慮x>=0）
寫到這裡，突然靈機一動發現：
對於任意的a∈（0，1），令f（0）=a，
就可不斷遞推求f（x）的任一個值了。
推導到此，我自認為這是這個問題的一個滿意的結果了，以我在中學數學上50多年的浸潤，認為問題提在中學數學中，雖然很佩服大神的好多方法，但我還想在中等數學內試試，除非實在沒法了，那也把過去學的還給過去的導師了，肯定是你們年青的厲害，後生可畏啊！
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好幾位大神證了
f（1）∈（1，2）U（2，5）。
我在早幾天（中學生方法）就推出了
f（1）∈（1，2），
且f（X）是增函式
我用不了幾句也證一下：
若f（1）存在，顯然有
f（1）≠0，1，2，5，
有f（x1）≠f（x2），
f（0）≠0，
f（1）=f（0）^2+1>1。
又ff（X）當x>0時單調遞增，
則f（x）也單調，〈注〉
以上為準備
①設f（x）單調遞增
則ff（1）>f（1）→f（1）<2，
即f（1）∈（1，2）
②設f（x）遞減
因為f（1）>1
則ff（1）<f（1）
→f（1）>2
則f（2）>2
則f（1）>f（2）>2
→f（2）>ff（2）=5
→f（1）>f（2）=5
同上可得f（1）>26……
→f（1）→∞
這也不可能。
綜合①②知，
若f（1）存在，
則f（x）是增函式，
且f（1）∈（1，2）。
〈注〉：f（x）單調很明顯：
若f（x）非單調，
一定存在 0<X1<X3
有f（x1）=f（x3）
則ff（x1）=ff（x3）
這與X1^2+1<x3^2+1矛盾，
所以x>=0時，f（x）單調（且遞增）。
今天看了下，好多作者都認可了
f（1）∈（1，2），
且認為f（1）不唯一，我也有同感，
但找個f（x）的描述也不容易，
如f（1）=3/2，那f（2）可不再有很高的自由度了！
因此找個f（x）表述法有點意思吧！？
試述：
本題從ff（x）=x²+1為切入點，
設f（x）=kx=x^2+1，
k由相應的x來確定，是變化的。
K=（x²+1）/x
如ff（1）=1^2+1=2X
這時（x=1時）
f（x）=√2x→f（1）=√2
x=2時，ff（x）=（5/2）X
f（x）=（√（5/2））X
f（2）=√10，
f（3）=√30
f（m）=√（m（m²+1））……④
f（x）表示式估計很多，
我想找個f（x）=X^t+b，
但不成功，望各位大神發幾個好的表述法
（不一定要表示式）。
我的表示式不適用於x=0，（不定式），
但沒矛盾，X=0時，ff（0）的值確是y軸（斜率∞）與曲線X^2+1的交點，
那f（0）是個不定式也很合理，
0<f（0）<1，也真是有了這個不定式，才出現了f（x）的多值性，
f（0）由f（1）反解，
當f（1）=√2時，
f（0）=√（√2-1）
（這裡只考慮x>=0）
寫到這裡，突然靈機一動發現：
對於任意的a∈（0，1），令f（0）=a，
就可不斷遞推求f（x）的任一個值了。
推導到此，我自認為這是這個問題的一個滿意的結果了，以我在中學數學上50多年的浸潤，認為問題提在中學數學中，雖然很佩服大神的好多方法，但我還想在中等數學內試試，除非實在沒法了，那也把過去學的還給過去的導師了，肯定是你們年青的厲害，後生可畏啊！