設魔方的所有狀態組成一個集合 ，每一種可能的公式組成另一個集合 。

如果兩種公式的結果是一樣的，比如R"和RRR和RRRRRRR和LLLLRRR等等，我們說他們是等價的。

然後定義一種運算 （不用管右面那一坨），代表“連續使用兩個公式”。

譬如 a = RUR" ; b = RLR" 。那麼 。

那麼，我們可以定義任何一個元素 的“倒數” ，代表“撤銷”a的影響。

顯然，a的倒數就是把操作順序倒過來，再全部逆轉方向，比如 。

很顯然， 。

接下來我們就把 稱為“乘法”，並省去中間的小圓圈了。

數一數，發現G裡面有|G| = 43,252,003,274,489,856,000個公式！不過它是有限的。

那麼“反覆使用一個公式”就是 。

我們計算

那麼這個序列裡面的前43252003274489856001個公式裡一定有重複的，否則就產生了矛盾。

即存在 ，那麼 。設N=m-n，那麼

也就是說a這個公式使用N次就會迴圈！

然後說說N為什麼經常是6的倍數。

定理（Lagrange） 若G,H是有限群， ，則 整除 。

把它改成人話：

如果有幾個公式a,b,c,d,e,...共有X個。它們之間任何兩個相乘、任何一個取倒數得到的公式還是a,b,c,d,e...中的一個，那麼X是|G|的因數。

我們把證明留到最後，先看一下它有什麼用：

我們剛才說 。觀察 。他們之間滿足：

那麼，無論這些a的冪如何相乘、去倒數，仍然可以表示為 的形式。因此 滿足上面的條件。這些公式共有N個。所以N是43252003274489856000的因數。

你可以數一下這個數里面有多少個2和3。隨便給出它的一個因數，就有很大可能是6的倍數。

（附加問題：有沒有 次迴圈的公式呢？答案是肯定的，因為Sylow的定理。但是能不能構造出這樣的公式來呢？）

接下來是證明（大略）：

1 設這些公式a,b,c,...構成集合H。

2 那麼我們隨便拿一個G裡的公式g，把ga,gb,gc,gd,...記作gH；ag,bg,cg,dg...記作Hg。

3 接下來證明，如果有兩個公式p,q，pH與qH中有一個元素相同，那麼他們完全相同。

4 然後，就可發現G可以被劃分為pH,qH,rH,...的Y個不重複而不遺漏的部分。

5 又因為每一個這樣的部分都有X個公式，所以XY = |G|。QED。