前面回答了很多關於幾何直觀的角度解釋方向導數和梯度的，這裡嘗試從定義的角度直接解釋。這裡解釋一下方向導數：直接從定義去解釋，極限這裡分母是在方向L上變化一段距離，分子是函式f在這段距離上相應的變化，相除就是自變數在方向L上變化一單位，相應的函式的變化量。（類比一元函式的切線，x變化一單位，相應的函式y的變化量。只不過函式的切線中，自變數只有一維，只能沿著x軸變化。在上述定義給出的三維空間中，自變數有三個維度，我們可以任意變化x,y,z，這樣的變化就是三維空間中的一個方向L）記住，這裡的方向導數可以對三維中間中的任意一個方向求導數。接下來給出梯度的定義從定義來看，梯度就是函式f在點 對各個維度求偏導陣列成的向量。（這裡沒什麼難的，我們就是把這樣的向量叫作梯度）下面這個定理對弄清楚梯度和方向導數的關係有幫助。這個定理給出的是和定義1不同的，方向導數的另一個表達。我們嘗試理解一下這個定理，我們任意給出三維空間中的一個方向L，那麼我們就可以透過 餘弦角度 給出這個方向L的一個單位向量。 這個單位向量就可以代表方向L。再根據梯度的定義，那麼這個定理就可以理解為，一個點 的方向導數就是梯度向量和方向L單位向量的乘積。寫出來就是根據向量乘法的幾何直觀 是兩個向量之間的角度， , 是單位向量。0" eeimg="1"/> 時， 的變化是正的，也就是f沿著L的方向是增長的， 時，變化率最大，也就是L的方向和梯度的夾角為0時，（我們之前說過方向導數可以是對三維空間中的任意一個方向求導數，這裡我們令L的方向就是梯度的方向）f增長的最大，此時f在L上的方向導數取得最大值 時， 的變化是負的，也就是f沿著L的方向是遞減的， 也就是L的方向和梯度的方向相反時（L這個方向是負梯度方向），f遞減的最快，此時f在L上的方向導數取得最小值 根據上述解釋，也印證了我們熟知的那句話：梯度方向是函式增長最快的方向，梯度向量相反的方向是函式下降最快的方向。
前面回答了很多關於幾何直觀的角度解釋方向導數和梯度的，這裡嘗試從定義的角度直接解釋。這裡解釋一下方向導數：直接從定義去解釋，極限這裡分母是在方向L上變化一段距離，分子是函式f在這段距離上相應的變化，相除就是自變數在方向L上變化一單位，相應的函式的變化量。（類比一元函式的切線，x變化一單位，相應的函式y的變化量。只不過函式的切線中，自變數只有一維，只能沿著x軸變化。在上述定義給出的三維空間中，自變數有三個維度，我們可以任意變化x,y,z，這樣的變化就是三維空間中的一個方向L）記住，這裡的方向導數可以對三維中間中的任意一個方向求導數。接下來給出梯度的定義從定義來看，梯度就是函式f在點 對各個維度求偏導陣列成的向量。（這裡沒什麼難的，我們就是把這樣的向量叫作梯度）下面這個定理對弄清楚梯度和方向導數的關係有幫助。這個定理給出的是和定義1不同的，方向導數的另一個表達。我們嘗試理解一下這個定理，我們任意給出三維空間中的一個方向L，那麼我們就可以透過 餘弦角度 給出這個方向L的一個單位向量。 這個單位向量就可以代表方向L。再根據梯度的定義，那麼這個定理就可以理解為，一個點 的方向導數就是梯度向量和方向L單位向量的乘積。寫出來就是根據向量乘法的幾何直觀 是兩個向量之間的角度， , 是單位向量。0" eeimg="1"/> 時， 的變化是正的，也就是f沿著L的方向是增長的， 時，變化率最大，也就是L的方向和梯度的夾角為0時，（我們之前說過方向導數可以是對三維空間中的任意一個方向求導數，這裡我們令L的方向就是梯度的方向）f增長的最大，此時f在L上的方向導數取得最大值 時， 的變化是負的，也就是f沿著L的方向是遞減的， 也就是L的方向和梯度的方向相反時（L這個方向是負梯度方向），f遞減的最快，此時f在L上的方向導數取得最小值 根據上述解釋，也印證了我們熟知的那句話：梯度方向是函式增長最快的方向，梯度向量相反的方向是函式下降最快的方向。