x^12+x^9+x^6+x^3+1在有理數範圍是不能因式分解的，所以這題宜用求根的方法解。
解：設方程 x^12+x^9+x^6+x^3+1=0 (1),在複數域的12個根分別為：w0,w1,w2,...,w11, 則，x^12+x^9+x^6+x^3+1可以因式分解為：(x-w0)(x-w1)(x-w2)...(x-w11) (*), 由等比數列和可知，(1)兩邊同乘以x^3-1,得：x^15-1=0, => x^15=1 (2), 方程(2)在複數域有15個根：u0,u1,u2,...u14，其中只有一個實根u0=1,其餘14個是虛根。15個根在複平面中的位置如圖所示，這15個根的模均為1，輻角主值分別為：0,2π/15,4π/15,6π/15,...,28π/15.除去x^3-1=0的三個根u0,u5,u10,其餘12個根正好是方程(1)的12個根。由於是在實數範圍內因式分解，係數都應該是實數，所以將12個根中，每兩個共軛根為一組，因式分解式(*)中含有共軛根的兩個因式相乘，由於兩個共軛虛數的和與積都是實數，則兩因式相乘後係數不再含有虛數。uj=cosθj+i*sinθj的共軛根為u"j=cosθj-i*sinθj, uj+u"j=2cosθj,uj*u"j=(cosθj)^2+(sinθj)^2=1, 則(x-uj)(x-u"j)=x^2-2cosθj+1.
綜上所述，x^12+x^9+x^6+x^3+1因式分解為：
(x^2-a1x+1)(x^2-a2x+1)(x^2-a3x+1)(x^2-a4x+1)(x^2-a5x+1)(x^2-a6x+1)
其中: a1=2cos24°,a2=2cos48°,a3=2cos72°,a4=2cos96°,a5=2cos144°,a6=2cos168°.
x^12+x^9+x^6+x^3+1在有理數範圍是不能因式分解的，所以這題宜用求根的方法解。
解：設方程 x^12+x^9+x^6+x^3+1=0 (1),在複數域的12個根分別為：w0,w1,w2,...,w11, 則，x^12+x^9+x^6+x^3+1可以因式分解為：(x-w0)(x-w1)(x-w2)...(x-w11) (*), 由等比數列和可知，(1)兩邊同乘以x^3-1,得：x^15-1=0, => x^15=1 (2), 方程(2)在複數域有15個根：u0,u1,u2,...u14，其中只有一個實根u0=1,其餘14個是虛根。15個根在複平面中的位置如圖所示，這15個根的模均為1，輻角主值分別為：0,2π/15,4π/15,6π/15,...,28π/15.除去x^3-1=0的三個根u0,u5,u10,其餘12個根正好是方程(1)的12個根。由於是在實數範圍內因式分解，係數都應該是實數，所以將12個根中，每兩個共軛根為一組，因式分解式(*)中含有共軛根的兩個因式相乘，由於兩個共軛虛數的和與積都是實數，則兩因式相乘後係數不再含有虛數。uj=cosθj+i*sinθj的共軛根為u"j=cosθj-i*sinθj, uj+u"j=2cosθj,uj*u"j=(cosθj)^2+(sinθj)^2=1, 則(x-uj)(x-u"j)=x^2-2cosθj+1.
綜上所述，x^12+x^9+x^6+x^3+1因式分解為：
(x^2-a1x+1)(x^2-a2x+1)(x^2-a3x+1)(x^2-a4x+1)(x^2-a5x+1)(x^2-a6x+1)
其中: a1=2cos24°,a2=2cos48°,a3=2cos72°,a4=2cos96°,a5=2cos144°,a6=2cos168°.