我來拋磚引玉一下：

拓撲空間和向量空間的定義想必題主應該已經熟知。簡單地說向量空間（也稱作線性空間）要求我們可以對空間中的元素本身做兩種運算（向量加法和標量乘法）且這些運算滿足公理化定義中的八條限制（公理）。而拓撲空間則是在某個空間上（不一定是向量空間）定義了拓撲，也就是我們在這個空間上取開集的方式，進而我們可以在這個空間上定義或者研究函式的連續性（當然對於函式需要明確原象和象空間），集合的緊性等等等等一系列概念或者性質。而這些性質或者概念是由拓撲所決定的：對於同一個全集，我們定義不同的拓撲，那麼這些連續性、緊性等等的定義也會隨之改變，換句話說我們會得到一個不同的拓撲空間，即便空間裡的元素還是那些元素。總的來說，拓撲空間和向量空間是從不同方面賦予一個集合某種結構使其成為了一個“空間”。拓撲空間不一定是向量空間，而向量空間本身的定義也沒有給出確定的拓撲結構。

顧名思義，拓撲向量空間是在向量空間 上定義了拓撲結構 ，並且我們要求向量加法 和標量乘法 在這個拓撲結構下是連續函式。一個比較典型的例子就是賦範線性空間（normed linear space），賦範線性空間一般是初學泛函分析或者實分析時一個典型的物件，我們線上性空間上定義範數，進而範數給出了相應的度量拓撲。反之，拓撲向量空間也可以說是賦範線性空間的一個推廣。它是一個更廣泛的定義：一般來說，拓撲向量空間不一定是可度量化（metrizable）的，從而研究它們的時候對於緊性、連續性等等我們一般不能用序列（sequence）來處理。但是對於我們初學泛函時對賦範線性空間搞的那一套東西（比如弱拓撲等等）其實也是一樣可以對拓撲向量空間來做的。