這個問題用高中知識可以解決，只需要利用對稱函式的定義。

一個函式 如果關於y軸對稱，那麼 ，如果關於原點中心對稱，那麼 。如果函式對稱，但不是關於原點中心對稱或者關於y軸對稱，咱們可以重新設定座標原點，或者把函式左右平移和上下平移使得它關於原點中心對稱或者關於y軸對稱，也就是做變換 ，把 帶入上面的兩個定義，整理一下，得到函式 關於某一點：

軸對稱則

中心對稱則

首先可以看出，最高階項的次數是奇數的多項式只可能中心對稱，是偶數的多項式只可能軸對稱，因為隨著自變數增大，

而 當n是奇數時是中心對稱的，當n是偶數是是軸對稱的。

下面咱們來看任意一個三次方程：

可以透過對自變數做一個放縮把最高次項的係數變成1，所以我們忽略了最高次項的係數。上面已經解釋了，這個函式只可能是中心對稱，把它帶入中心對稱的定義裡得到：

二者相加,，合併同類項，得到：

這個式子必須對任意 恆為0，它是二次的，但是由於一次項為0，所以只有二次項和0次項非0。有兩個未知數 和 待確定。令二次項為0，得到 ，再令 等於0次項，就恰好符合條件。所以，任意三次方程是中心對稱的。

一般地，假如 是 次多項式，那麼它只可能中心對稱，展開

只有偶次數項，還剩下 個方程，而咱們調整的引數只有 和 兩個，所以當 時 沒有恆為0的通解，所以 就是最高次的恆中心對稱的多項式次數。

假如 是 次多項式，那麼它只可能軸對稱，展開

只有奇次數項，仍然剩下 個方程，而由前面的定義，可以調整的引數只有 一個，所以當 時有通解，所以 就是最高次的恆軸對稱的多項式次數。