簡單來說切空間（Tangent space）是在某一點所有的切向量組成的線性空間。

直觀起見，我們先可以考慮在一維、二維情況下的簡單例子：

（1）一維流形，即一條曲線，它在每一點處的切空間是一條直線，直線上的每一個點都與切向量平行；

（2）二維流形，即一個曲面，曲面上每一點處就不只是切線了，而是可以有一個切平面，這個切平面就是這個二維流行的切空間。

從一維到二維的例子我們可以看到：首先，切空間就是流形在一點處的線性化，它把流形在區域性進行平直的表示。其次，之所以曲面的切空間是一個平面，這是因為它有兩個獨立方向導數，因此構成二維線性空間，而曲線的切線方向只能張成一個一維空間。把這種想法進一步推廣，切空間即為方向導數的方向張成的線性空間，也就是說，在一個流形的區域性，你可以把它的所有的切向方向都找出來，這些向量構成的線性空間就是切空間。切空間具有很好的線性性質，所以可以幫助討論例如線性空間同構等性質。

理解了這兩個例子，然後我們可以考慮更復雜的情況，例如三維的流形。三維流形如果是歐氏空間中的開集，則每一點處切空間就是一個三維的空間（R^3）。只不過，我們在理解切空間的時候，如果還是低於二維的話，我們可以很容易想象出它的影象，而高維的情況，直觀的想象就很困難了。

切空間是在某一點所有的切向量組成的線性空間。切空間是微分流形在一點處所決定的向量空間，是歐氏空間中光滑曲線的切線、光滑曲面的切平面的推廣。

為了理解切空間，首先要清楚什麼是切向量。歐式空間中的切向量很直觀，完全可以想象得出來，但對於更一般的流形而言，這樣直觀的切向量已經不復存在，所以必須要重新定義出與歐式空間中切向量相容的切向量。

歐式空間中的切向量聯絡著方向導數，而流形上函式仍然有方向導數，這就啟發了我們去定義流形上的切向量。

把流形上的函式f(x)限制在光滑曲線x(t)上，那麼函式成為f(x(t))，此時函式沿曲線在p點的方向導數為

在p點選取區域性座標系x=(x1,⋯,xn)，那麼上式可以表示成

此時將微分運算元Xp定義作在p點的切向量，這樣就符合了切向量和方向導數的關係，也符合了切向量的含義，而且與歐式空間中切向量相符。

那麼受此啟發，可以將流形上在p點的切向量直接定義成具有線性性和萊布尼茨性質的對映v:

而在p點的所有切向量便構成了p點的切空間，這與歐式空間相同。進一步可知，p點處的切空間維數與流形的維數相同，而且有自然定義的基底:

直觀一點來說，切空間就是流形在一點的線性化，是包含此點最簡單的空間，藉助這一“簡單”，便可以過得更多關於流形本身的性質，對比一下歐式空間的話，這些是很好想像的。