已知圓O，圓心為O，半徑為r，AB為圓的直徑，C為圓O上任意一點，那麼證明∠ACB=90°。證明：因為AB為直徑，那麼AB過圓心O，且AO=BO=r，同時OC=r。令向量AO=m，向量OB=n，向量OC=p。那麼由於A、O、B共線，且AO=BO=半徑，那麼m=n。而根據向量法則可得，向量AC=向量AO+向量OC=m+p，向量CB=向量CO+向量OB=n-p=m-p。則向量AC·向量CB=(m+p)·(m-p)=m·m-p·p=|m|^2-|p|^2。又AO=OC=r，那麼|m|^2-|p|^2=r^2-r^2=0，即向量AC與向量CB垂直，即∠ACB=90°。上述即證明了直徑所對的圓周角為直角。擴充套件資料：1、向量的運算對於向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)則向量的運演算法則如下。（1）數量積對於向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之間的夾角為A，那麼a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。a·b=|a|·|b|·cosA，（2）向量的加法a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)（3）向量的減法a+(-b)=a-b2、圓的性質（1）垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。（2）直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。（3）在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
已知圓O，圓心為O，半徑為r，AB為圓的直徑，C為圓O上任意一點，那麼證明∠ACB=90°。證明：因為AB為直徑，那麼AB過圓心O，且AO=BO=r，同時OC=r。令向量AO=m，向量OB=n，向量OC=p。那麼由於A、O、B共線，且AO=BO=半徑，那麼m=n。而根據向量法則可得，向量AC=向量AO+向量OC=m+p，向量CB=向量CO+向量OB=n-p=m-p。則向量AC·向量CB=(m+p)·(m-p)=m·m-p·p=|m|^2-|p|^2。又AO=OC=r，那麼|m|^2-|p|^2=r^2-r^2=0，即向量AC與向量CB垂直，即∠ACB=90°。上述即證明了直徑所對的圓周角為直角。擴充套件資料：1、向量的運算對於向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)則向量的運演算法則如下。（1）數量積對於向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之間的夾角為A，那麼a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。a·b=|a|·|b|·cosA，（2）向量的加法a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)（3）向量的減法a+(-b)=a-b2、圓的性質（1）垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。（2）直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。（3）在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。