設點M是焦點在y軸上的雙曲線上任意一點,焦距|F1F2|=2c,| |MF1| - |MF2| | =2a,其中c>a>0

那麼焦點座標為下焦點F1(0,-c),上焦點F2(0,c)

所以有：|MF1|=根號[x²+(y+c)²] ,|MF2|=根號[x²+(y-c)²]

則由 |MF1| - |MF2| =±2a可得：

根號[x²+(y+c)²] - 根號[x²+(y-c)²]=±2a

移項得：根號[x²+(y+c)²] =±2a+根號[x²+(y-c)²]

兩邊平方得：

{根號[x²+(y+c)²]}² ={±2a+根號[x²+(y-c)²]}²

x²+(y+c)²=4a² ± 4a根號[x²+(y-c)²] + x²+(y-c)²

4cy=4a² ± 4a根號[x²+(y-c)²]

cy-a²=± a根號[x²+(y-c)²]

再次兩邊平方得：

c²y²-2cya²+a的4次冪=a²[x²+(y-c)²]

c²y²-2cya²+a的4次冪=a²x²+a²y²-2cya²c+a²c²

(c²-a²)y²-a²x²=a²c²-a的4次冪

即(c²-a²)y²-a²x²=a²(c²-a²) (*)

由於c>a>0,所以不妨令c²-a²=b²,b>0

上述(*)式可化為：b²y²-a²x²=a²b²

則可得：y²/a² -x²/b²=1

這就是所求的焦點在y軸的雙曲線的標準方程