已經有兩個很正確的答案了，我再介紹一種不同的做法吧。華師大版的數學分析第四版裡面有類似的題（或者相同的題），我憑回憶複述一下這題的解答。首先，任何實數都可以寫成無限小數，比如0可以寫成0.000000…，1可以寫成0.9999999…，其它整數或者有限小數類似。 n位不足近似：我們把一個非負的實數a的n位不足近似定義為保留a整數部分和小數點後n位不變，小數點n位後面都變成零得到的數。 n位過剩近似：我們把一個非負的實數a的n位過剩近似定義為保留a整數部分和小數點後n-1位不變，在第n位上加1（滿足進位則進位），n位之後的都變為零得到的數。（或者保留a整數部分和小數點後n位不變，n+1位及之後的都變成9得到的數） 負實數的n位不足近似和n位過剩近似求得方法只是將上面非負實數的方法互換一下 可以瞭解到，一個實數會大於等於這個數的n位不足近似，小於等於這個數的n位過剩近似，而且這之間的等號最多成立一個。並且對於任意給定的n，這兩個近似值都是有理數。 定理：如果實數a、b滿足a＞b，那麼一定存在正整數n，使得a的n位不足近似大於b的n位過剩近似。定理的證明還需要用到實數大小關係的定義，本來作為一門嚴謹的學科，把定理證明過程掛出來這個答案才完整，但是由於此處剩下的空白處太小以至於我無法將證明過程寫下（好吧體諒手機黨） 回到原問題，首先用定理搞定n的存在性，再取x為a的n位過剩近似和b的n位不足近似的算數平均值，顯然此時x為有理數且滿足a＜x＜b至於題主的思路，我覺得如果用反證法只需要反設滿足這個大小關係的x全為無理數，然後證這個假設不成立。題主所說的第二個反設多餘。但其實關鍵在於，證偽的過程有些困難，難道用有理數的稠密性？

已經有兩個很正確的答案了，我再介紹一種不同的做法吧。華師大版的數學分析第四版裡面有類似的題（或者相同的題），我憑回憶複述一下這題的解答。首先，任何實數都可以寫成無限小數，比如0可以寫成0.000000…，1可以寫成0.9999999…，其它整數或者有限小數類似。 n位不足近似：我們把一個非負的實數a的n位不足近似定義為保留a整數部分和小數點後n位不變，小數點n位後面都變成零得到的數。 n位過剩近似：我們把一個非負的實數a的n位過剩近似定義為保留a整數部分和小數點後n-1位不變，在第n位上加1（滿足進位則進位），n位之後的都變為零得到的數。（或者保留a整數部分和小數點後n位不變，n+1位及之後的都變成9得到的數） 負實數的n位不足近似和n位過剩近似求得方法只是將上面非負實數的方法互換一下 可以瞭解到，一個實數會大於等於這個數的n位不足近似，小於等於這個數的n位過剩近似，而且這之間的等號最多成立一個。並且對於任意給定的n，這兩個近似值都是有理數。 定理：如果實數a、b滿足a＞b，那麼一定存在正整數n，使得a的n位不足近似大於b的n位過剩近似。定理的證明還需要用到實數大小關係的定義，本來作為一門嚴謹的學科，把定理證明過程掛出來這個答案才完整，但是由於此處剩下的空白處太小以至於我無法將證明過程寫下（好吧體諒手機黨） 回到原問題，首先用定理搞定n的存在性，再取x為a的n位過剩近似和b的n位不足近似的算數平均值，顯然此時x為有理數且滿足a＜x＜b至於題主的思路，我覺得如果用反證法只需要反設滿足這個大小關係的x全為無理數，然後證這個假設不成立。題主所說的第二個反設多餘。但其實關鍵在於，證偽的過程有些困難，難道用有理數的稠密性？