結論：看具體情況。如果在某個領域裡，值域為數集的的對映有特殊的重要性，一般就會區分使用“函式”和“對映”；否則，“函式”就可能被用作“對映”的同義詞。
“對映（mapping）”代表集合間的對應關係，這沒有分歧。有分歧的是“函式（function）”一詞，有兩種用法。
一種用法是，把函式當作一種特殊的對映，即“從一個集合到一個數集的對映”。定義域不一定是數集（這一點和高中的要求不同），但值域必須是數集。
例如：線性對映是從向量空間到向量空間的對映，並且保持其上的線性運算。而線性函式則是向量空間到數集（數的加法看作向量加法，則數集也是個向量空間）的對映。
全純流形之間的保持結構的對映稱為全純對映，而如果是全純流形到複數集 （也看作一個流形）的保持結構的對映，就叫全純函式。
因為數集往往同時有許多自然定義的結構，例如實數集 上有加法，可以看成 上的向量空間；有加減乘除，所以是個域；有自然定義的測度（勒貝格測度）；有拓撲，有微分結構，有序關係……這些結構之間還相互關聯，加法是保持序的，加減乘除關於自然定義的拓撲是連續的，把 看作拓撲群，則勒貝格測度就是哈爾測度……所以以數集為值域的對映比起一般的對映性質更好，有特殊的重要地位，這裡就有必要給一個單獨的名字。
令一種用法是，函式 對映。
這在計算機術語中尤其明顯（但不限於計算機專業）。計算機專業在談論“函式”的時候，似乎更多的是側重其“功能”（function也有功能的意思），即某段程式碼有什麼樣的功能。至於這個程式碼是返回一個“數”，還是返回其他型別的物件，這不重要。這裡就沒有必要給返回數值的對映一個單獨的名字。所以就籠統地稱為“函式”。
數學書也有把函式等同於對映的情況，或許是作者在他的領域內沒有必要區分二者（例如作者只研究實數，那麼他見過的對映當然都是函式）。另一種可能是歷史原因。function一詞很早就有了，更為人熟知，而mapping作為一個數學術語卻是相對比較晚的事情，所以有人更願意使用function而不是mapping來指代一般意義上的對應關係。
類似的問題可能還有“變換（transform）”“運算（operation）”之間的區別。雖然有時候數學家也不是很用心去區分這幾個詞，約定俗成的叫法傳開了，也沒人會去想是不是符合定義……
結論：看具體情況。如果在某個領域裡，值域為數集的的對映有特殊的重要性，一般就會區分使用“函式”和“對映”；否則，“函式”就可能被用作“對映”的同義詞。
“對映（mapping）”代表集合間的對應關係，這沒有分歧。有分歧的是“函式（function）”一詞，有兩種用法。
一種用法是，把函式當作一種特殊的對映，即“從一個集合到一個數集的對映”。定義域不一定是數集（這一點和高中的要求不同），但值域必須是數集。
例如：線性對映是從向量空間到向量空間的對映，並且保持其上的線性運算。而線性函式則是向量空間到數集（數的加法看作向量加法，則數集也是個向量空間）的對映。
全純流形之間的保持結構的對映稱為全純對映，而如果是全純流形到複數集 （也看作一個流形）的保持結構的對映，就叫全純函式。
因為數集往往同時有許多自然定義的結構，例如實數集 上有加法，可以看成 上的向量空間；有加減乘除，所以是個域；有自然定義的測度（勒貝格測度）；有拓撲，有微分結構，有序關係……這些結構之間還相互關聯，加法是保持序的，加減乘除關於自然定義的拓撲是連續的，把 看作拓撲群，則勒貝格測度就是哈爾測度……所以以數集為值域的對映比起一般的對映性質更好，有特殊的重要地位，這裡就有必要給一個單獨的名字。
令一種用法是，函式 對映。
這在計算機術語中尤其明顯（但不限於計算機專業）。計算機專業在談論“函式”的時候，似乎更多的是側重其“功能”（function也有功能的意思），即某段程式碼有什麼樣的功能。至於這個程式碼是返回一個“數”，還是返回其他型別的物件，這不重要。這裡就沒有必要給返回數值的對映一個單獨的名字。所以就籠統地稱為“函式”。
數學書也有把函式等同於對映的情況，或許是作者在他的領域內沒有必要區分二者（例如作者只研究實數，那麼他見過的對映當然都是函式）。另一種可能是歷史原因。function一詞很早就有了，更為人熟知，而mapping作為一個數學術語卻是相對比較晚的事情，所以有人更願意使用function而不是mapping來指代一般意義上的對應關係。
類似的問題可能還有“變換（transform）”“運算（operation）”之間的區別。雖然有時候數學家也不是很用心去區分這幾個詞，約定俗成的叫法傳開了，也沒人會去想是不是符合定義……