答：這道題的難度不是很大，只是證明起來有些麻煩，只要概念清楚就可以解出來。
證明：見圖黑色線為原題，彩色線都是輔助線。圓O1交AC於M，交AB於N。
先證明O2在圓O上。連結OO2，假設交圓O於P，OO2垂直平分BC，弧BP=弧CP；連結AP，則AP過內心I；連結BP、CP、BI、CI；則有∠CAP=BAP（等弧上的圓周角相等）=BCP（同弧圓周角）=CBP；因為AI、BI、CI分別平分∠BAC、∠ABC和∠ACB；∠CIP=∠CAP+∠ACI(外角定理)=∠BCI+∠BCP=∠ICP;所以△PCI是等腰三角形，同理可以證明PBI也是等腰三角形；所以，PC=PI=PB;根據不在同一直線上的三點確定一個圓，P是△BCI的外接圓圓心，應為O2是△BCI外接圓的圓心，所以點P與O2重合，O2在圓O上。
(1)連結AD、DM、DN、O1M、O1N、O1D、MN，O1D⊥MN，所以∠MO1D=∠NO1D(垂徑定理）=2∠NAD(同弧上的圓心角等於圓周角的2倍）=2∠MAD，所以，AD在∠BAC的平分線上；所以A、D、O2三點共線。
(2)作射線O1E、O1F、O2E、O2F；因為，射線O1E，O1F與圓O2都只有一個交點，射線O2E、O2F與圓O1也只有一個交點，因此，O1E和O1F分別與圓O2相切，O2E和O2F分別與圓O1相切；同時O1E和O1F、O2E和O2F分別是圓O1和圓O2的半徑，所以O1E⊥O2E，O1F⊥O2F；∠O1EO2=∠O1FO2=90D,所以∠O1EO2+∠O1FO2=180D;因此，O1，E，O2，F四點共圓（對角互補的四邊形共圓）。證畢。
答：這道題的難度不是很大，只是證明起來有些麻煩，只要概念清楚就可以解出來。
證明：見圖黑色線為原題，彩色線都是輔助線。圓O1交AC於M，交AB於N。
先證明O2在圓O上。連結OO2，假設交圓O於P，OO2垂直平分BC，弧BP=弧CP；連結AP，則AP過內心I；連結BP、CP、BI、CI；則有∠CAP=BAP（等弧上的圓周角相等）=BCP（同弧圓周角）=CBP；因為AI、BI、CI分別平分∠BAC、∠ABC和∠ACB；∠CIP=∠CAP+∠ACI(外角定理)=∠BCI+∠BCP=∠ICP;所以△PCI是等腰三角形，同理可以證明PBI也是等腰三角形；所以，PC=PI=PB;根據不在同一直線上的三點確定一個圓，P是△BCI的外接圓圓心，應為O2是△BCI外接圓的圓心，所以點P與O2重合，O2在圓O上。
(1)連結AD、DM、DN、O1M、O1N、O1D、MN，O1D⊥MN，所以∠MO1D=∠NO1D(垂徑定理）=2∠NAD(同弧上的圓心角等於圓周角的2倍）=2∠MAD，所以，AD在∠BAC的平分線上；所以A、D、O2三點共線。
(2)作射線O1E、O1F、O2E、O2F；因為，射線O1E，O1F與圓O2都只有一個交點，射線O2E、O2F與圓O1也只有一個交點，因此，O1E和O1F分別與圓O2相切，O2E和O2F分別與圓O1相切；同時O1E和O1F、O2E和O2F分別是圓O1和圓O2的半徑，所以O1E⊥O2E，O1F⊥O2F；∠O1EO2=∠O1FO2=90D,所以∠O1EO2+∠O1FO2=180D;因此，O1，E，O2，F四點共圓（對角互補的四邊形共圓）。證畢。