大致介紹下加法電路吧。
要讓計算機進行算術運算，首先要對輸入的資料進行編碼。現代計算機都是二進位制計算機，n位二進位制數的編碼空間是。如果使用8位二進位制編碼，最多可以有256種不同的狀態，可以對應到自然數中的0-255，這就是8位無符號整數。
我們知道有限數集對加法運算是不封閉的，對加法運算封閉的數集一定是無限數集（例如自然數集的子集）。顯然計算機只能處理有限的資料，因此我們需要一個在有限數集上的封閉運算，模 加法滿足這一性質，而且在二進位制運算中實現起來特別簡單。
舉個例子，如果運算的輸入和輸出都使用8位無符號整數，某些情況下會產生溢位問題，即計算結果用8位存不下，這時就要把溢位部分丟棄，例如：
，
注意到
因此，輸出只要比輸入多一位，就可以完整保留運算結果，這多出的一位就是進位（carry）。
回憶一下，你是怎麼學會算術的？熟練背出10以內的加法和乘法，把十進位制表示的算術運算分解成若干個10以內的加法和乘法，分步計算出來就可以了。教會計算機做算術也差不多如此，教會二進位制計算機做加法，只需要教會它在2以內的加法就可以了。
在數學上，一元函式是一個數集到另一個數集的對映：
多元函式是向量集到一個數集的對映：
向量函式是向量集到一個數集的多個對映：
多元向量函式實際上就是多個多元函式的組合：
接下來介紹一位半加器 ，輸入 為A，B；輸出 為S，C。
是兩個二進位制向量，維度都是2， ；
是一個2維向量集 到數集 的2維向量函式。
設計這個兩輸入半加器就是設計這個函式
（其中， ），
至於這個函式要怎麼設計，就需要布林代數的知識了。
列出真值表：
布林代數告訴我們，Carry = A and B，Sum = A xor B = ((not A) and B) or (A and (not B))。上面這兩個邏輯表示式可以這樣簡寫：
於是 就這麼被實現了。
再回憶一下，學會10以內的加法後，怎麼掌握更大範圍的整數加法？列豎式就好了。
根據 求解 就是列豎式的過程了。
好了，現在列個豎式計算下3+3吧。
我們發現，只有兩個輸入的半加器是不夠用的，前一位的進位還要作為下一位的輸入。
全加器的輸入應該有三個，其真值表如下：
從而得到：
將n個全加器級聯起來，就是一個n位的加法器，這就是逐級進位加法器。
考慮到閘電路中的電場狀態改變需要時間，如果輸入電平發生了變化，那麼輸出電平需要一段時間後才會響應，當然這段時間很小，小到了納秒級別。因此，這種加法器有個缺點：每一位的進位輸入依賴於上一位的進位輸出，只有前一位的進位訊號穩定後，這一位的全加器的運算才是有意義的。如果位數n很大的話，整個加法器會變慢，最後會限制CPU主頻的提高。
既然級聯一位的加法器算有這樣的缺點，那就乾脆直接設計一個位數足夠大的加法器！
我們列出2位的全加器的真值表：
我們看到，隨著n增大，真值表的行數是指數級別增長的。即使位數僅僅只有2，真值表的行數都達到了32，人工求解布林表示式變得很困難。但是理論上，這樣的全加器的確存在，而且實際上，有一個更優雅的設計方法。
再次考慮上面講到的全加器，不再以級聯的方式獲得進位輸入，而是直接根據輸入，設計電路得到合適的進位，這樣設計出來的加法器叫做超前進位加法器。
其中，每一級的進位可以由當前的兩個位產生(generate)，；或者由上一級傳遞(propagate)的進位 和當前輸入累加導致的，，因此下一級的進位是
因此，得到關於2位超前進位加法器的布林表示式：
圖片來自《數位電子技術（第九版）》 電子工業出版社 Thomas L. Floyd 著 餘璆 等 譯
考慮到積體電路的面積，成本，功耗，散熱等因素，超前進位加法器的位數一般不會過大。一般將幾個超前進位加法器(如8位，16位)級聯起來，得到位數夠寬的加法器。
大致介紹下加法電路吧。
要讓計算機進行算術運算，首先要對輸入的資料進行編碼。現代計算機都是二進位制計算機，n位二進位制數的編碼空間是。如果使用8位二進位制編碼，最多可以有256種不同的狀態，可以對應到自然數中的0-255，這就是8位無符號整數。
我們知道有限數集對加法運算是不封閉的，對加法運算封閉的數集一定是無限數集（例如自然數集的子集）。顯然計算機只能處理有限的資料，因此我們需要一個在有限數集上的封閉運算，模 加法滿足這一性質，而且在二進位制運算中實現起來特別簡單。
舉個例子，如果運算的輸入和輸出都使用8位無符號整數，某些情況下會產生溢位問題，即計算結果用8位存不下，這時就要把溢位部分丟棄，例如：
，
注意到
因此，輸出只要比輸入多一位，就可以完整保留運算結果，這多出的一位就是進位（carry）。
回憶一下，你是怎麼學會算術的？熟練背出10以內的加法和乘法，把十進位制表示的算術運算分解成若干個10以內的加法和乘法，分步計算出來就可以了。教會計算機做算術也差不多如此，教會二進位制計算機做加法，只需要教會它在2以內的加法就可以了。
在數學上，一元函式是一個數集到另一個數集的對映：
多元函式是向量集到一個數集的對映：
向量函式是向量集到一個數集的多個對映：
多元向量函式實際上就是多個多元函式的組合：
接下來介紹一位半加器 ，輸入 為A，B；輸出 為S，C。
是兩個二進位制向量，維度都是2， ；
是一個2維向量集 到數集 的2維向量函式。
設計這個兩輸入半加器就是設計這個函式
（其中， ），
至於這個函式要怎麼設計，就需要布林代數的知識了。
列出真值表：
布林代數告訴我們，Carry = A and B，Sum = A xor B = ((not A) and B) or (A and (not B))。上面這兩個邏輯表示式可以這樣簡寫：
於是 就這麼被實現了。
再回憶一下，學會10以內的加法後，怎麼掌握更大範圍的整數加法？列豎式就好了。
根據 求解 就是列豎式的過程了。
好了，現在列個豎式計算下3+3吧。
我們發現，只有兩個輸入的半加器是不夠用的，前一位的進位還要作為下一位的輸入。
全加器的輸入應該有三個，其真值表如下：
從而得到：
將n個全加器級聯起來，就是一個n位的加法器，這就是逐級進位加法器。
考慮到閘電路中的電場狀態改變需要時間，如果輸入電平發生了變化，那麼輸出電平需要一段時間後才會響應，當然這段時間很小，小到了納秒級別。因此，這種加法器有個缺點：每一位的進位輸入依賴於上一位的進位輸出，只有前一位的進位訊號穩定後，這一位的全加器的運算才是有意義的。如果位數n很大的話，整個加法器會變慢，最後會限制CPU主頻的提高。
既然級聯一位的加法器算有這樣的缺點，那就乾脆直接設計一個位數足夠大的加法器！
我們列出2位的全加器的真值表：
我們看到，隨著n增大，真值表的行數是指數級別增長的。即使位數僅僅只有2，真值表的行數都達到了32，人工求解布林表示式變得很困難。但是理論上，這樣的全加器的確存在，而且實際上，有一個更優雅的設計方法。
再次考慮上面講到的全加器，不再以級聯的方式獲得進位輸入，而是直接根據輸入，設計電路得到合適的進位，這樣設計出來的加法器叫做超前進位加法器。
其中，每一級的進位可以由當前的兩個位產生(generate)，；或者由上一級傳遞(propagate)的進位 和當前輸入累加導致的，，因此下一級的進位是
因此，得到關於2位超前進位加法器的布林表示式：
圖片來自《數位電子技術（第九版）》 電子工業出版社 Thomas L. Floyd 著 餘璆 等 譯
考慮到積體電路的面積，成本，功耗，散熱等因素，超前進位加法器的位數一般不會過大。一般將幾個超前進位加法器(如8位，16位)級聯起來，得到位數夠寬的加法器。