這裡有個我覺得挺簡潔但又很神奇的證明，用到的工具只有排列的逆序數。發現者是 19 世紀的俄國數學家 Zolotarev. 可以簡要說說。
如果有 個字母的一個排列 ，它總可以寫成一串對換的乘積，寫法有很多，但用到的對換的個數的奇偶性是不變的，所以可以定義 的符號 ，用到偶數個對換的時候符號是 1，用到奇數個對換的時候符號是 -1.
符號是一個同態：如果有兩個排列 , 則
證明的思路很神奇，找兩個排列 使得他們的符號分別是 , 然後乘積的符號是 ，就成了。
對於兩個奇素數 , 取 個字母，填入 的方格內。
比如 的情形，可以按從左到右從上到下的順序填入 0-9a-e 十五個字母。
沿著對角線撿起來，再橫著填到填入一個 的方格，則得到了 0-9a-e 的一個排列 .
這裡的對角線是貪食蛇模式，如果碰到了底部就從上面繼續，碰到了右邊就從左邊繼續。這個排列的意思就是 0 -> 0, 1 -> 6, 2 -> c, 3 -> 3, 4 -> 9, ...
現在把這 的方格的內容橫著撿起來（0 6 c 3 9 a 1 7 d 4 5 b 2 8 e），按從左到右從上到下的順序填入一個 的方格
這一步沒有重排字母（恆同對映），只是為下一步做個準備。
現在在 的方格里橫著撿起來，沿對角線填入
這是另一個排列 . 這次排列以後的結果很有意思，0 1 2 3 4 變成豎著寫的了：所以 的複合，相當於 “轉置” 了原來的方格（在 3 x 5 的方格里沿對角線撿起來，橫著放下去，再橫著撿起來，沿著對角線放到 5 x 3 的方格里去，中間兩項一抵消，剩下的當然就是轉置）
注意轉置不是平凡的排列，是把 01234... 分別變成 05a16...
下面來計算這幾個排列的符號。
轉置的比較好算：要把
“恢復” 成 0123456789abcde 需要幾個對換？計算“恢復”每個字母位置對符號帶來的貢獻就行——要把 1 放到 0 的後面，需要越過 5 和 a, 兩個對換，因為我們只關心奇偶性，所以無貢獻。要把 2 放到 1 的後面，需要越過 5, a, 6, b, 總共 4 個對換，也無貢獻。可以看出 0 1 2 3 4 歸位都是無貢獻的。5 也沒有，6 就比較有趣了，只需要越過 a, 貢獻了一個 -1. 7 呢？7 每往上移動一行貢獻一個 -1, 但是需要往上移動兩行，所以 無貢獻。8 貢獻了 ，9 貢獻了 ...
一般地如果寫成 的方格，
只有標 "o" 的地方能給出 -1 的因子（每個 o 需要越過奇數個字母奇數次），所以轉置的符號是. 這裡就有點二次互反律的影子了。
那麼
的符號怎麼計算呢？計算這個才是寫成 方格的原因——沿著對角線重寫的時候，可以觀察到，每個字母所在的列都沒有變化，只是行變了，所以 其實是五個置換的乘積（每個對應一列），而且我們可以透過 “旋轉密碼鎖” 的方式（每次旋轉不改變符號），看出 和下面這個置換有相同的符號
而這個東西的符號，其實就是第一列那個置換的符號的五次方——等於第一列那個置換的符號。
而第一列那個置換，可以證明，就是 “乘以5” 在 上定義的置換。也就是說， 的符號就是 “乘以5” 在 上的置換的符號。
同理， 的符號就是 “乘以3” 在 上的置換的符號。
一般地對於 , 把 “乘以 m” 在 上的置換的符號，記作 的話，我們已經證明了
接下來只需說明 ，而這並不難—— 是素數的時候 都是 到 的滿同態（不是完全顯然的，想想為什麼是同態，為什麼滿），而這樣的同態只有一個，所以他們一定相等。這就贏了。
我不知道這個證明是怎麼想出來的，但是證明本身似乎比數格點之類的證明好懂一點，也難忘一點。把一個群 ({±1}) 裡的一個等式（用同態）提升到某個複雜點（所以更有資訊量）的群 (S_n) 裡證明出來，很好用，也很需要創造力。
這裡有個我覺得挺簡潔但又很神奇的證明，用到的工具只有排列的逆序數。發現者是 19 世紀的俄國數學家 Zolotarev. 可以簡要說說。
如果有 個字母的一個排列 ，它總可以寫成一串對換的乘積，寫法有很多，但用到的對換的個數的奇偶性是不變的，所以可以定義 的符號 ，用到偶數個對換的時候符號是 1，用到奇數個對換的時候符號是 -1.
符號是一個同態：如果有兩個排列 , 則
他們乘積的符號等於符號的乘積：證明的思路很神奇，找兩個排列 使得他們的符號分別是 , 然後乘積的符號是 ，就成了。
對於兩個奇素數 , 取 個字母，填入 的方格內。
比如 的情形，可以按從左到右從上到下的順序填入 0-9a-e 十五個字母。
沿著對角線撿起來，再橫著填到填入一個 的方格，則得到了 0-9a-e 的一個排列 .
這裡的對角線是貪食蛇模式，如果碰到了底部就從上面繼續，碰到了右邊就從左邊繼續。這個排列的意思就是 0 -> 0, 1 -> 6, 2 -> c, 3 -> 3, 4 -> 9, ...
現在把這 的方格的內容橫著撿起來（0 6 c 3 9 a 1 7 d 4 5 b 2 8 e），按從左到右從上到下的順序填入一個 的方格
這一步沒有重排字母（恆同對映），只是為下一步做個準備。
現在在 的方格里橫著撿起來，沿對角線填入
這是另一個排列 . 這次排列以後的結果很有意思，0 1 2 3 4 變成豎著寫的了：所以 的複合，相當於 “轉置” 了原來的方格（在 3 x 5 的方格里沿對角線撿起來，橫著放下去，再橫著撿起來，沿著對角線放到 5 x 3 的方格里去，中間兩項一抵消，剩下的當然就是轉置）
注意轉置不是平凡的排列，是把 01234... 分別變成 05a16...
下面來計算這幾個排列的符號。
轉置的比較好算：要把
“恢復” 成 0123456789abcde 需要幾個對換？計算“恢復”每個字母位置對符號帶來的貢獻就行——要把 1 放到 0 的後面，需要越過 5 和 a, 兩個對換，因為我們只關心奇偶性，所以無貢獻。要把 2 放到 1 的後面，需要越過 5, a, 6, b, 總共 4 個對換，也無貢獻。可以看出 0 1 2 3 4 歸位都是無貢獻的。5 也沒有，6 就比較有趣了，只需要越過 a, 貢獻了一個 -1. 7 呢？7 每往上移動一行貢獻一個 -1, 但是需要往上移動兩行，所以 無貢獻。8 貢獻了 ，9 貢獻了 ...
一般地如果寫成 的方格，
只有標 "o" 的地方能給出 -1 的因子（每個 o 需要越過奇數個字母奇數次），所以轉置的符號是. 這裡就有點二次互反律的影子了。
那麼
的符號怎麼計算呢？計算這個才是寫成 方格的原因——沿著對角線重寫的時候，可以觀察到，每個字母所在的列都沒有變化，只是行變了，所以 其實是五個置換的乘積（每個對應一列），而且我們可以透過 “旋轉密碼鎖” 的方式（每次旋轉不改變符號），看出 和下面這個置換有相同的符號
而這個東西的符號，其實就是第一列那個置換的符號的五次方——等於第一列那個置換的符號。
而第一列那個置換，可以證明，就是 “乘以5” 在 上定義的置換。也就是說， 的符號就是 “乘以5” 在 上的置換的符號。
同理， 的符號就是 “乘以3” 在 上的置換的符號。
一般地對於 , 把 “乘以 m” 在 上的置換的符號，記作 的話，我們已經證明了
接下來只需說明 ，而這並不難—— 是素數的時候 都是 到 的滿同態（不是完全顯然的，想想為什麼是同態，為什麼滿），而這樣的同態只有一個，所以他們一定相等。這就贏了。
我不知道這個證明是怎麼想出來的，但是證明本身似乎比數格點之類的證明好懂一點，也難忘一點。把一個群 ({±1}) 裡的一個等式（用同態）提升到某個複雜點（所以更有資訊量）的群 (S_n) 裡證明出來，很好用，也很需要創造力。