先明確流形的定義：如果 Hausdorff 空間 M 中的任何一點 p 都存在 p 的一個鄰域 U 與 n 維歐式空間 Rⁿ 的一個開集 拓撲同胚，則稱 M 為 n 維（拓撲）流形。
所謂 “錐面不是二維流形”，這裡的錐面指的就是二次錐面，方程為：
z² = x² +ｙ²
圖形如下：
二次錐面不是流形的原因是出在原點 O 上。假設 O 的某個鄰域 U 和 R² 的一個開集 V 之間存在拓撲同胚 ψ：U → V。因為 O 點 和 ψ(O) 一一對應，於是分別從ψ 的 定義域 和 值域 中去掉這對對應點，得到的 ψ" : U \ {O} → V \ {ψ(O)} 依然是拓撲同胚。另一方面，XOY 座標平面將 U \ {O} 分割為上下兩個不同的連通分支，而我們知道 在 R² 中任意去掉一個點，剩下的任然是單連通的，故 V \ {ψ(O)} 只有一個連通分支。這就說明 U \ {O} 和 V \ {ψ(O)} 在連通性上不一致。而拓撲同胚必須保證連通性一致，也就是說，連通性不一致的拓撲空間之間不可能存在拓撲同胚。矛盾。
先明確流形的定義：如果 Hausdorff 空間 M 中的任何一點 p 都存在 p 的一個鄰域 U 與 n 維歐式空間 Rⁿ 的一個開集 拓撲同胚，則稱 M 為 n 維（拓撲）流形。
所謂 “錐面不是二維流形”，這裡的錐面指的就是二次錐面，方程為：
z² = x² +ｙ²
圖形如下：
二次錐面不是流形的原因是出在原點 O 上。假設 O 的某個鄰域 U 和 R² 的一個開集 V 之間存在拓撲同胚 ψ：U → V。因為 O 點 和 ψ(O) 一一對應，於是分別從ψ 的 定義域 和 值域 中去掉這對對應點，得到的 ψ" : U \ {O} → V \ {ψ(O)} 依然是拓撲同胚。另一方面，XOY 座標平面將 U \ {O} 分割為上下兩個不同的連通分支，而我們知道 在 R² 中任意去掉一個點，剩下的任然是單連通的，故 V \ {ψ(O)} 只有一個連通分支。這就說明 U \ {O} 和 V \ {ψ(O)} 在連通性上不一致。而拓撲同胚必須保證連通性一致，也就是說，連通性不一致的拓撲空間之間不可能存在拓撲同胚。矛盾。
如果我們將 原點 O 從二次錐面中去掉，則 剩下的部分是 二維流形，另外，分別去除 二次錐面 在 XOY 座標平面的 上部 或 下部，剩下的部分也都是二維流形。
題主圖片給出的那個圓錐形紙杯，
在拓撲學中稱為幾何錐，定義如下（其中 I = [0, 1])：
設 X ⊆ Rⁿ，a ∈ Rⁿ⁺¹ \ Rⁿ，令 aX = { ta + (t-1)x | t ∈ I, x ∈ X }，則稱 aX 為以 X 為底邊，以 a 為頂點的 幾何錐。
更廣泛的是拓撲錐，定義如下：
設 X 是拓撲空間，則 稱商空間 CX = (X × I) / (X × {1}) 為 拓撲錐。
可證明：當 X 是 Rⁿ 的緊緻子集時，CX ≌ aX；這時，幾何錐和拓撲錐是二維流形。