x^(1+x)/(1+x)^x= x/(1+1/x)^x

x^(1+x)/(1+x)^x - e/x = x/(1+1/x)^x - x/e

通分後 (ex - x(1+1/x)^x)/(e(1+1/x)^x)

分母趨向於e^2， 所以考慮分子即可， 分子為無窮乘以0，所以轉化為:

(e-(1+1/x)^x)/(1/x)變為 0/0形式，所以可以對分子分母求導，其中分母求導後為-1/x^2;

分子求導麻煩些， e是常數項，可以不管， (1+1/x)^x= e^(ln(1+1/x)^x)=e^(xln(1+1/x))

求導後為e^(xln(1+1/x))*(xln(1+1/x))"= (1+1/x)^x * (ln(1+1/x) + x*1/(1+1/x) *(-1/x^2))=(1+1/x)^x *{ln(1+1/x) - 1/(x+1) }， 趨向於0, 同時前半部分的(1+1/x)^x趨向於e，可以先分離出來，所以分子只考慮ln(1+1/x) - 1/(x+1)，是0-0的，還是趨向於0；

所以再對分子分母求導數後分母為 2/x^3， 分子為 1/(1 + 1/x)*(-1/x^2) + 1/(1+x)^2，整理有 1/(1+x)^2-1/(x^2+x)=-1/{x(x+1)^2}

然後將分母的 2/x^3加入後變為 x^3/{2x(x+1)^2}=(x^2/(x+1)^2)/2，所以趨向於1/2

然後再把之前分子的係數(1+1/x)^x=e，以及總的分母e^2加入後得到結果 1/2e.

總的來說需要用兩次洛必塔法則得到最終結果， 其間求導比較複雜， 正負號變化也較為麻煩。