1^n+2^n+3^n+4^n+…+n^n=1/6*n(n+1)(2n+1)

方法1：

利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

……

3^3-2^3=3*2^2+3*2+1

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

相加得:

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+…+n^2)+3(1+2+…+n)+n

整理得：

1^n+2^n+…+n^n=1/6*n(n+1)(2n+1)

方法2：用數學歸納法證明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6

1，N＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

2，N＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

3，設N＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋……＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

則當N＝x＋1時，

1＋4＋9＋……＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6也滿足公式

4，綜上所述，1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6成立，得證